オペレーションズ・リサーチの問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学オペレーションズ・リサーチ

ある工場では、ある部品を年間 $3600$ 個、一定の割合で使用している。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

$1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
部品 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $3$ 円の保管費用がかかる。
在庫切れ（欠品）を許し、欠品した分は次の納入時にすぐに補充される（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くと $6$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、最大欠品量を $S$ 個（ $Q > 0$ , $0 \leq S \leq Q$ とし、ともに実数として扱う）とすると、年間総費用は
$C (Q, S) = \frac{400 \cdot 3600}{Q} + \frac{3 ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} + \frac{6 S ^{2}}{2 Q} （円）$
で表される。 $C (Q, S)$ を最小にする $Q$ , $S$ と、そのときの年間総費用の最小値を、組 $(Q, S, 最小値)$ の形でこの順に求めよ。

この問題で使うもの

欠品を許す在庫モデル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（36 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $Q$ を固定して $C$ を $S$ だけの関数とみて、 $S$ について最小化しましょう。そのあとで $Q$ について最小化します。

ヒント 2

$\frac{3 ( Q - S ) ^{2}}{2 Q}$ を展開して $C = \frac{1440000}{Q} + \frac{3 Q}{2} - 3 S + \frac{9 S ^{2}}{2 Q}$ と整理し、 $S$ について平方完成します。

ヒント 3

平方完成すると $C = \frac{1440000}{Q} + Q + \frac{9}{2 Q} (S - \frac{Q}{3})^{2}$ となります。残りは $\frac{1440000}{Q} + Q$ の最小値で、これは相加平均と相乗平均の大小関係から求められます。

答えと解説

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(1200, 400, 2400)

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手順 1：式を整理する。
$\frac{3 ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} = \frac{3 ( Q ^{2} - 2 QS + S ^{2} )}{2 Q} = \frac{3 Q}{2} - 3 S + \frac{3 S ^{2}}{2 Q}$
である。 $400 \cdot 3600 = 1440000$ と合わせると
$C (Q, S) = \frac{1440000}{Q} + \frac{3 Q}{2} - 3 S + \frac{9 S ^{2}}{2 Q}$
となる。

手順 2： $Q$ を固定して $S$ について最小化する。
$Q$ を固定すると、 $C$ は $S$ の 2 次関数で、 $S^{2}$ の係数 $\frac{9}{2 Q}$ は正である。平方完成すると
$\frac{9 S ^{2}}{2 Q} - 3 S = \frac{9}{2 Q} (S^{2} - \frac{2 Q}{3} S) = \frac{9}{2 Q} (S - \frac{Q}{3})^{2} - \frac{Q}{2}$
となる。したがって
$C (Q, S) = \frac{1440000}{Q} + Q + \frac{9}{2 Q} (S - \frac{Q}{3})^{2}$
である。 $S = \frac{Q}{3}$ は $0 \leq S \leq Q$ の範囲に入っている。よって各 $Q > 0$ に対して、 $C$ は $S = \frac{Q}{3}$ で最小になり、その最小値は
$g (Q) = \frac{1440000}{Q} + Q$
である。定義域の境界 $S = 0$ , $S = Q$ では $(S - \frac{Q}{3})^{2} > 0$ なので、 $C$ は $g (Q)$ より大きい。したがって境界上に最小は生じない。

手順 3： $g (Q)$ を最小化する。
$Q > 0$ なので、相加平均と相乗平均の大小関係より
$g (Q) = \frac{1440000}{Q} + Q \geq 2 \frac{1440000}{Q} \cdot Q = 21440000 = 2 \cdot 1200 = 2400$
が成り立つ。等号が成り立つのは $\frac{1440000}{Q} = Q$ 、すなわち $Q^{2} = 1440000$ のときで、 $Q > 0$ より $Q = 1200$ である。

以上から、すべての $Q > 0$ , $0 \leq S \leq Q$ について $C (Q, S) \geq g (Q) \geq 2400$ が成り立つ。等号は $Q = 1200$ , $S = \frac{1200}{3} = 400$ のときに限り成り立つ。

手順 4：検算する。
元の式に $Q = 1200$ , $S = 400$ を代入すると
$\frac{1440000}{1200} = 1200, \frac{3 \cdot 80 0 ^{2}}{2 \cdot 1200} = \frac{1920000}{2400} = 800, \frac{6 \cdot 40 0 ^{2}}{2 \cdot 1200} = \frac{960000}{2400} = 400$
となり、合計は $1200 + 800 + 400 = 2400$ 円で、手順 3 の結果と一致する。

（一般に、需要 $D$ 、発注費用 $K$ 、保管費用 $h$ 、欠品費用 $p$ のとき、最適解は $Q = \frac{2 K D}{h} \cdot \frac{h + p}{p}$ , $S = \frac{h}{h + p} Q$ である。 $D = 3600$ , $K = 400$ , $h = 3$ , $p = 6$ を代入すると同じ結果が得られる。）

答え： $(Q, S, 最小値) = (1200, 400, 2400)$

別解

$C (Q, S) = \frac{1440000}{Q} + \frac{3 ( Q - S ) ^{2} + 6 S ^{2}}{2 Q}$ を最小にする。

【 $S$ について】 $Q$ を固定して $S$ で偏微分する。
$\partial C / \partial S = \frac{- 6 ( Q - S ) + 12 S}{2 Q} = \frac{- 3 ( Q - S ) + 6 S}{Q} = \frac{9 S - 3 Q}{Q}$
これを $0$ とおくと $S = Q /3$ となる。これは $0 \leq S \leq Q$ を満たす。 $C$ は $S$ の下に凸な二次関数なので、これが最小を与える。

【 $S = Q /3$ を代入】
$\frac{3 ( 2 Q /3 ) ^{2}}{2 Q} = \frac{2 Q}{3}$ 、 $\frac{6 ( Q /3 ) ^{2}}{2 Q} = \frac{Q}{3}$ なので、和は $Q$ である。
よって $C = \frac{1440000}{Q} + Q$ となる。

【 $Q$ について】
$d C / d Q = - \frac{1440000}{Q ^{2}} + 1 = 0$ より $Q^{2} = 1440000$ 、 $Q = 1200$ 。
（相加・相乗平均の関係からも、 $C \geq 21440000 = 2400$ で、等号は $Q = 1200$ のとき成立する。）
このとき $S = 400$ 、最小値は $1200 + 1200 = 2400$ 円である。

【検算】 $Q = 1200$ 、 $S = 400$ を代入する。
$1440000/1200 = 1200$ 、 $3 \cdot 80 0^{2} /2400 = 800$ 、 $6 \cdot 40 0^{2} /2400 = 400$ 。
合計は $2400$ で、一致する。

答え： $(Q, S, 最小値) = (1200, 400, 2400)$

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