オペレーションズ・リサーチの問題

ある部品メーカーでは、ある部品の需要が年間 $3000$ 個あり、一定の割合で生じる。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $200$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $40$ 円の保管費用がかかる。
• 欠品を許し、欠品した分は次の納入時にすべて補充する（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くごとに $120$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、各サイクルの最大欠品量を $S$ 個とすると、年間総費用は
$$f(Q,S)=\frac{200\cdot 3000}{Q}+\frac{40(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{120S^2}{2Q}$$
で表される。$Q$ を正の実数、$S$ を $0\le S<Q$ を満たす実数の範囲で動かすとき、$f(Q,S)$ を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間総費用の最小値（円）を、この順に組で求めよ。

ある工場では、ある部品を年間 $3600$ 個、一定の割合で使用している。この部品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した部品は一度に納入され、納入までの時間は無視できる。
• 部品 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $3$ 円の保管費用がかかる。
• 在庫切れ（欠品）を許し、欠品した分は次の納入時にすぐに補充される（受注残）。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くと $6$ 円の欠品費用がかかる。

$1$ 回の発注量を $Q$ 個、最大欠品量を $S$ 個（$Q>0$, $0\le S\le Q$ とし、ともに実数として扱う）とすると、年間総費用は
$$C(Q,S)=\frac{400\cdot 3600}{Q}+\frac{3(Q-S{)}^2}{2Q}+\frac{6S^2}{2Q}\text{（円）}$$
で表される。$C(Q,S)$ を最小にする $Q$, $S$ と、そのときの年間総費用の最小値を、組 $(Q,S,\text{最小値})$ の形でこの順に求めよ。

ある卸売業者は、ある商品を年間 $6000$ 個、一定の割合で出荷している。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は発注と同時に一度に納入される（リードタイムは $0$）。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $200$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と保管期間に比例する）。
• 在庫が切れている間に来た注文は欠品（受注残）として記録され、次の納入時にすべて直ちに出荷される。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くごとに $600$ 円の欠品費用がかかる（欠品費用は欠品量と欠品期間に比例する）。
• 毎回の発注量を $Q$ 個、納入直前の欠品量（最大欠品量）を $S$ 個とし、これらは毎回同じとする（$Q>0,0\le S\le Q$ の実数として扱う）。

商品の購入単価は発注量によらず一定で、年間の購入費用は $Q,S$ によらないものとする。$1$ 年あたりの発注費用・保管費用・欠品費用の合計を最小にする $Q$ と $S$ を、組 $(Q,S)$ の形でこの順に求めよ。

ある販売店では、ある商品の需要が年間 $4500$ 個で、一定の割合で生じる。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は一度に納入され、納入までの時間は $0$ とみなす。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $250$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と時間に比例する）。
• 在庫が $0$ のときに生じた需要は品切れ（受注残）として残し、次の納入時にすべて満たす。受注残 $1$ 個を $1$ 年間残すと $200$ 円の品切れ費用がかかる（品切れ費用は受注残の量と時間に比例する）。
• 毎回の発注量は同じ $Q$ 個であり、毎回、受注残が同じ量 $B$ 個（$0\le B\le Q$）に達した時点で発注・納入して受注残をすべて満たす。

$Q,B$ は正の実数（$B$ は $0$ 以上の実数）として扱い、商品の購入単価は考えない。年間の発注費用・保管費用・品切れ費用の合計を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間費用の合計（円）を、この順に組で求めよ。

ある喫茶店では、コーヒー豆を袋単位で仕入れている。コーヒー豆の需要は年間 $2000$ 袋で、一年を通じて一定の割合で生じる。在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。
• $1$ 袋を $1$ 年間保管すると $50$ 円の保管費用がかかる。
• 毎回 $Q$ 袋（$Q>0$）ずつ発注し、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に $Q$ 袋が一度に届く（調達期間は $0$、品切れは起こさない）。
• 発注費用と保管費用以外の費用は考えない。

$1$ 年間の発注費用と保管費用の合計を年間総費用とする。$Q$ を正の実数の範囲で動かすとき、年間総費用の最小値は何円か。