欠品を許す在庫モデル

欠品費 $p$ を含む年間費用 $\frac{K D}{Q} + \frac{h ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} + \frac{p S ^{2}}{2 Q}$ を 2 変数関数として最小化し、最適な $(Q, S)$ と最小費用を求められる

前提

経済的発注量（EOQ）（大学数学オペレーションズ・リサーチ）
2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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経済的発注量（EOQ）（大学数学オペレーションズ・リサーチ）
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2 変数関数の極値（大学数学微分積分）

説明

EOQ では在庫を切らさないことを前提にしました。しかし実際には、品切れの間に受けた注文を待ってもらい、次の入荷で引き渡す運用（入荷待ち、バックオーダー）もあります。この技能では、発注量 $Q$ と最大欠品量 $S$ の 2 つを同時に選び、発注費・保管費・欠品費の合計を最小にする方法を学びます。保管費が高く、少しの品切れなら許される商品の発注計画などで使います。

なぜそうしてよいのか

需要は 1 年に $D$ 個の一定の速さで続くとし、1 回に $Q$ 個を発注すると即座に入荷するとします。入荷した $Q$ 個のうち $S$ 個は、たまっていた入荷待ちの注文に回します。そのため手元在庫は最大 $Q - S$ 個から始まり、0 になったあとは欠品が 0 から $S$ 個までたまって次の入荷を迎えます。1 サイクルは $Q / D$ 年で、年に $D / Q$ 回発注します。在庫と欠品のグラフはどちらも三角形になり、1 サイクルあたりの「在庫量×時間」は $\frac{( Q - S ) ^{2}}{2 D}$ 、「欠品量×時間」は $\frac{S ^{2}}{2 D}$ です。これに $h$ （1 個 1 年の保管費）、 $p$ （1 個 1 年の欠品費）と年間回数 $D / Q$ を掛けると、年間費用 $C (Q, S) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} + \frac{p S ^{2}}{2 Q}$ が得られます（ $K, D, h, p > 0$ ）。現実の意味からは $Q > 0, 0 \leq S \leq Q$ ですが、まず条件をゆるめて「 $Q > 0$ 、 $S$ は任意の実数」の範囲で最小値を探します。そこで得た点が $0 \leq S \leq Q$ を満たせば、条件付きの問題でもそれが最小です。条件をつけると候補が減るだけなので、最小値は小さくならないからです。

$Q$ を 1 つ固定すると、 $C$ は $S$ の 2 次関数です。展開すると $C = \frac{K D}{Q} + \frac{h Q}{2} - h S + \frac{( h + p ) S ^{2}}{2 Q}$ となり、 $S$ について平方完成すると $C (Q, S) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ^{'} Q}{2} + \frac{h + p}{2 Q} (S - \frac{h}{h + p} Q)^{2}, h^{'} = \frac{h p}{h + p}$ です（ $\frac{h}{2} - \frac{h ^{2}}{2 ( h + p )} = \frac{h p}{2 ( h + p )}$ を使いました）。 $\frac{h + p}{2 Q} > 0$ なので、どの $Q > 0$ についても $C (Q, S) \geq g (Q) := \frac{K D}{Q} + \frac{h ^{'} Q}{2}$ が成り立ちます。等号が成り立つのは $S = \frac{h}{h + p} Q$ のときだけです。

残る $g (Q)$ は、EOQ の費用で $h$ を $h^{'}$ に取り替えたものです。 $g^{'} (Q) = - \frac{K D}{Q ^{2}} + \frac{h ^{'}}{2}$ は $Q < Q^{*}$ で負、 $Q > Q^{*}$ で正になります。よって $Q > 0$ 全体での最小は $Q^{*} = \frac{2 K D}{h ^{'}} = \frac{2 K D ( h + p )}{h p}$ で、最小値は $g (Q^{*}) = 2 K D h^{'} = \frac{2 K D h p}{h + p}$ です。まとめると、すべての $Q > 0$ と実数 $S$ について $C (Q, S) \geq g (Q) \geq g (Q^{*}) = C (Q^{*}, S^{*})$ が成り立ちます（ $S^{*} = \frac{h}{h + p} Q^{*}$ ）。これで大域的な最小が直接示せました。ヘッセ行列式による判定（ $C_{QQ} C_{S S} - C_{QS}^{2} = \frac{2 K D ( h + p )}{Q ^{4}} > 0$ 、 $C_{S S} > 0$ ）で分かるのは「近くの点より小さい」という局所的な極小までです。最小であることの根拠は、この不等式の連鎖にあります。最後に $0 < \frac{h}{h + p} < 1$ なので $0 < S^{*} < Q^{*}$ となり、元の条件も満たします。なお $p \to \infty$ （欠品を許さない）とすると $h^{'} \to h$ 、 $S^{*} \to 0$ となり、EOQ に戻ります。

手順

与えられた $D, K, h, p$ を確認し、年間費用 $C (Q, S) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} + \frac{p S ^{2}}{2 Q}$ を立てる。範囲はいったん $Q > 0$ 、 $S$ は実数全体とする
$S$ について平方完成し、 $C = \frac{K D}{Q} + \frac{h ^{'} Q}{2} + \frac{h + p}{2 Q} (S - \frac{h}{h + p} Q)^{2}$ （ $h^{'} = \frac{h p}{h + p}$ ）の形にする。各 $Q$ で最適な $S$ は $S = \frac{h}{h + p} Q$
残りの $g (Q) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ^{'} Q}{2}$ を EOQ と同様に増減を調べて最小化する： $Q^{*} = \frac{2 K D}{h ^{'}}$ 、最小値 $2 K D h^{'}$
$C (Q, S) \geq g (Q) \geq g (Q^{*})$ から大域的最小であることを確認し、 $S^{*} = \frac{h}{h + p} Q^{*}$ を計算する
$0 \leq S^{*} \leq Q^{*}$ を満たすことを確かめ、 $C (Q^{*}, S^{*})$ に直接代入して最小費用を検算する

例題

年間需要 $D = 600$ 個、1 回の発注費 $K = 100$ 円、1 個 1 年の保管費 $h = 4$ 円、1 個 1 年の欠品費 $p = 12$ 円の商品がある。欠品（入荷待ち）を許す在庫モデルの年間費用 $C (Q, S) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ( Q - S ) ^{2}}{2 Q} + \frac{p S ^{2}}{2 Q}$ （ $Q > 0, 0 \leq S \leq Q$ ）を最小にする発注量 $Q^{*}$ 、最大欠品量 $S^{*}$ 、最小費用を順に求めよ。

例題の解答

手順 1： $K D = 60000$ なので $C (Q, S) = \frac{60000}{Q} + \frac{2 ( Q - S ) ^{2}}{Q} + \frac{6 S ^{2}}{Q}$ です。まず $Q > 0$ 、 $S$ は実数全体で考えます。
手順 2： $h^{'} = \frac{4 \cdot 12}{16} = 3$ 、 $\frac{h + p}{2 Q} = \frac{8}{Q}$ 、 $\frac{h}{h + p} = \frac{1}{4}$ なので、 $C = \frac{60000}{Q} + \frac{3 Q}{2} + \frac{8}{Q} (S - \frac{Q}{4})^{2}$ です。各 $Q$ で最適な $S$ は $S = \frac{Q}{4}$ です。
手順 3： $g (Q) = \frac{60000}{Q} + \frac{3 Q}{2}$ の導関数は $g^{'} (Q) = - \frac{60000}{Q ^{2}} + \frac{3}{2}$ です。これは $Q < 200$ で負、 $Q > 200$ で正なので、 $Q^{*} = 200$ で最小になり、 $g (200) = 300 + 300 = 600$ です。
手順 4：すべての $Q > 0$ と実数 $S$ について $C (Q, S) \geq g (Q) \geq 600$ が成り立ち、 $(Q, S) = (200, 50)$ で等号が成り立ちます。よって大域的最小で、 $S^{*} = \frac{200}{4} = 50$ です。
手順 5： $0 \leq 50 \leq 200$ なので条件を満たします。検算すると $\frac{60000}{200} + \frac{4 \cdot 15 0 ^{2}}{400} + \frac{12 \cdot 5 0 ^{2}}{400} = 300 + 225 + 75 = 600$ となり、一致します。最小費用は 600 円です。

答え: $(200, 50, 600)$

よくある誤り

発注量を EOQ のまま $Q = \frac{2 K D}{h}$ とし、そのあとで $S$ だけを最適化してしまう誤り。正しくは $S = \frac{h}{h + p} Q$ を代入した $g (Q) = \frac{K D}{Q} + \frac{h ^{'} Q}{2}$ を最小化します。結果は $Q^{*} = \frac{2 K D ( h + p )}{h p}$ で、EOQ より大きくなります。
最大在庫量を $Q$ として、保管費を $\frac{h Q}{2}$ のまま使う誤り。正しくは、入荷分のうち $S$ 個が入荷待ちの注文に回るので最大在庫は $Q - S$ です。在庫のある期間も短くなるため、保管費は $\frac{h ( Q - S ) ^{2}}{2 Q}$ になります。
$S^{*}$ の比を逆にして $S^{*} = \frac{p}{h + p} Q^{*}$ としてしまう誤り。正しくは平方完成（または $C_{S} = 0$ ）から $S^{*} = \frac{h}{h + p} Q^{*}$ です。欠品費 $p$ が大きいほど欠品量は小さくなる、と考えると確認できます。
ヘッセ行列式 $\frac{2 K D ( h + p )}{Q ^{4}} > 0$ と $C_{S S} > 0$ を確かめただけで「最小」と結論してしまう誤り。これで分かるのは局所的な極小までです。正しくは平方完成から $C (Q, S) \geq g (Q) \geq g (Q^{*})$ を示して大域的最小を確かめ、さらに $0 \leq S^{*} \leq Q^{*}$ を満たすことも確認します。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

欠品を許す在庫モデル

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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この技能を使う問題