オペレーションズ・リサーチの問題

ある販売店では、ある商品の需要が年間 $4500$ 個で、一定の割合で生じる。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は一度に納入され、納入までの時間は $0$ とみなす。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $250$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と時間に比例する）。
• 在庫が $0$ のときに生じた需要は品切れ（受注残）として残し、次の納入時にすべて満たす。受注残 $1$ 個を $1$ 年間残すと $200$ 円の品切れ費用がかかる（品切れ費用は受注残の量と時間に比例する）。
• 毎回の発注量は同じ $Q$ 個であり、毎回、受注残が同じ量 $B$ 個（$0\le B\le Q$）に達した時点で発注・納入して受注残をすべて満たす。

$Q,B$ は正の実数（$B$ は $0$ 以上の実数）として扱い、商品の購入単価は考えない。年間の発注費用・保管費用・品切れ費用の合計を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間費用の合計（円）を、この順に組で求めよ。

ある店舗では、ある部品を年間 $9000$ 個、一定の割合で販売している。この部品を仕入れるとき、$1$ 回の発注ごとに発注量によらず $2000$ 円の発注費用がかかる。また、部品の単価は $500$ 円で、$1$ 個を $1$ 年間保管するのにかかる在庫保管費用は単価の $20\%$ である。

発注はいつも同じ量 $Q$ 個（$Q>0$）ずつ行い、在庫がちょうど $0$ になった瞬間に注文した部品が届く（リードタイム $0$、品切れは起こさない）ものとする。年間の発注費用と年間の在庫保管費用の和（部品の購入代金は含めない）を年間総費用とするとき、$Q$ を正の実数の範囲で動かしたときの年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある卸売業者は、ある商品を年間 $6000$ 個、一定の割合で出荷している。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $500$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は発注と同時に一度に納入される（リードタイムは $0$）。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管するのに $200$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と保管期間に比例する）。
• 在庫が切れている間に来た注文は欠品（受注残）として記録され、次の納入時にすべて直ちに出荷される。欠品 $1$ 個が $1$ 年間続くごとに $600$ 円の欠品費用がかかる（欠品費用は欠品量と欠品期間に比例する）。
• 毎回の発注量を $Q$ 個、納入直前の欠品量（最大欠品量）を $S$ 個とし、これらは毎回同じとする（$Q>0,0\le S\le Q$ の実数として扱う）。

商品の購入単価は発注量によらず一定で、年間の購入費用は $Q,S$ によらないものとする。$1$ 年あたりの発注費用・保管費用・欠品費用の合計を最小にする $Q$ と $S$ を、組 $(Q,S)$ の形でこの順に求めよ。

ある喫茶店では、コーヒー豆を年間 $1600$ kg 使用する。使用は一年を通じて一定の割合で行われる。コーヒー豆の仕入れについて、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $5000$ 円の発注費用がかかる。
• 毎回 $Q$ kg ずつ発注し、発注したコーヒー豆は在庫がちょうど $0$ になった瞬間に一度に全部届く（品切れは起こさない）。
• コーヒー豆 $1$ kg を $1$ 年間保管するのに $400$ 円の保管費用がかかる。保管費用は平均在庫量 $\frac{Q}{2}$ kg に対してかかるものとする。
• 年間総費用は、年間の発注費用と年間の保管費用の和とする（豆の購入代金は発注量によらないので含めない）。

$Q$ を正の実数として、年間総費用の最小値（円）を求めよ。

ある倉庫で 2 種類の商品 $P_1,P_2$ を扱っている。それぞれの年間需要量は一定の割合で生じ、$P_1$ が $4000$ 個、$P_2$ が $6000$ 個である。$1$ 回の発注費用（発注量によらない）は $P_1$ が $300$ 円、$P_2$ が $750$ 円であり、$1$ 個を $1$ 年間保管する費用は $P_1$ が $20$ 円、$P_2$ が $60$ 円である。各商品は在庫が $0$ になった瞬間に発注し、注文はただちに納入される（品切れは起こさない）。$P_1,P_2$ の $1$ 回の発注量をそれぞれ $Q_1,Q_2$（正の実数）とし、各商品の在庫は $Q_i$ から $0$ まで一定の速さで減るものとする（年間保管費用は平均在庫量 $Q_i/2$ に比例する）。

この倉庫には商品を合計 $500$ 個までしか置けないため、両商品の最大在庫量が同時に生じてもよいように
$$Q_1+Q_2\le 500$$
という制約を課す。この制約のもとで、2 商品の年間発注費用と年間保管費用の総和の最小値（円）を求めよ。