最適化・線形計画法の問題

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2\\ 2x+y=4\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、各式の左辺と右辺の差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-1{)}^2+(x-y-2{)}^2+(2x+y-4{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。$S(x,y)$ を最小にする $(x,y)$ を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=(x-3{)}^2+(y-2{)}^2\\ \text{subject to}& g_1(x,y)=x^2+y^2-5\le 0,\\ & g_2(x,y)=x+2y-4\le 0.\end{array}$$
ラグランジュ関数を $L(x,y,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=f(x,y)+{\lambda }_1{g}_1(x,y)+{\lambda }_2{g}_2(x,y)$ とする。この問題の最適解 $(x^{\ast },y^{\ast })$ において KKT 条件を満たすラグランジュ乗数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2(\ge 0)$ は一意に定まる。その組 $({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ をこの順に求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=(x-4{)}^2+(y-1{)}^2\\ \text{subject to}& g_1(x,y)=x+2y-4\le 0,\\ & g_2(x,y)=-x\le 0,\\ & g_3(x,y)=-y\le 0.\end{array}$$
KKT 条件を
$$\nabla f(x,y)+{\mu }_1\nabla g_1(x,y)+{\mu }_2\nabla g_2(x,y)+{\mu }_3\nabla g_3(x,y)=0,{\mu }_i\ge 0,{\mu }_i{g}_i(x,y)=0(i=1,2,3)$$
と、制約 $g_i(x,y)\le 0(i=1,2,3)$ の組とする。この問題の最適解 $(x^{\ast },y^{\ast })$ と、そこでの KKT 乗数 ${\mu }_1^{\ast }$ を、組 $(x^{\ast },y^{\ast },{\mu }_1^{\ast })$ の形で求めよ。

実数 $x,y$ についての次の最適化問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& f(x,y)=x^2+xy+y^2-6x\\ \text{subject to}& g_1(x,y)=x+y-1\le 0,\\ & g_2(x,y)=x-y-3\le 0.\end{array}$$
ラグランジュ関数を
$$L(x,y,{\mu }_1,{\mu }_2)=f(x,y)+{\mu }_1{g}_1(x,y)+{\mu }_2{g}_2(x,y)$$
とし、${\mu }_1,{\mu }_2\ge 0$ を KKT 乗数とする。この問題の最適解 $(x^{\ast },y^{\ast })$ と、それに対応する KKT 乗数 ${\mu }_1^{\ast },{\mu }_2^{\ast }$ を求め、$(x^{\ast },y^{\ast },{\mu }_1^{\ast },{\mu }_2^{\ast })$ の順に答えよ。

実数 $x,y$ についての次の線形計画問題を考える。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& z=3x+2y\\ \text{subject to}& x+y\ge 6,\\ & x+3y\ge 10,\\ & 2x+y\ge 8,\\ & x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$
この問題の最適解はただ 1 つである。最適解 $(x,y)$ を組で求めよ。