凸最適化・組合せ最適化の問題

$y=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ とし、
$$\varphi (x)=\frac{1}{2}{x}_1+\frac{1}{3}{x}_2-\log \left(1+e^{x_1}+e^{x_2}\right)$$
とおく。$f$ は凸関数（対数和指数関数）なので $\varphi$ は凹関数であり、$\nabla \varphi (x)=0$ を満たす点があれば、そこで $\varphi$ は最大値をとる。

停留点. $S=1+e^{x_1}+e^{x_2}$ とおくと
$$\frac{\partial \varphi }{\partial x_1}=\frac{1}{2}-\frac{e^{x_1}}{S},\frac{\partial \varphi }{\partial x_2}=\frac{1}{3}-\frac{e^{x_2}}{S}.$$
これらが $0$ となる条件は $e^{x_1}=\frac{S}{2}$, $e^{x_2}=\frac{S}{3}$。これを $S=1+e^{x_1}+e^{x_2}$ に代入すると
$$S=1+\frac{S}{2}+\frac{S}{3}⟹\frac{S}{6}=1⟹S=6.$$
よって $e^{x_1}=3$, $e^{x_2}=2$、すなわち $x_1=\log 3$, $x_2=\log 2$ が停留点である。

値の計算.
$$f^{\ast }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)=\varphi (\log 3,\log 2)=\frac{1}{2}\log 3+\frac{1}{3}\log 2-\log 6=-\frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{2}\log 3.$$

（一般に、$y_1,y_2\ge 0$, $y_1+y_2\le 1$ のとき $y_0=1-y_1-y_2$ として $f^{\ast }(y)=y_0\log y_0+y_1\log y_1+y_2\log y_2$（$0\log 0=0$）であり、それ以外の $y$ では $f^{\ast }(y)=+\infty$ となる。$y=(\frac{1}{2},\frac{1}{3})$ では $y_0=\frac{1}{6}$ で
$\frac{1}{6}\log \frac{1}{6}+\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\log \frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{2}\log 3$ となり一致する。）

したがって $f^{\ast }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{2}\log 3$。

$⟨x,y⟩-f(x)$ は $x$ について凹で滑らか。停留条件は $y_i=\frac{e^{x_i}}{1+e^{x_1}+e^{x_2}}$（$i=1,2$）。$y=(1/2,1/3)$ のとき $y_0=1-y_1-y_2=1/6>0$ なので、$e^{x_i}=y_i/y_0$ より $e^{x_1}=3,e^{x_2}=2$、すなわち $x_1=\log 3,x_2=\log 2$ で最大が達成される（$y$ が正の単体の内部にあるため解が存在する）。

このとき $f(x)=\log (1+3+2)=\log 6$、$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\log 3+\frac{1}{3}\log 2$。

$f^{\ast }(y)=\frac{1}{2}\log 3+\frac{1}{3}\log 2-\log 2-\log 3=-\frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{2}\log 3$。

検算: 一般形 $f^{\ast }(y)=y_1\log y_1+y_2\log y_2+y_0\log y_0$ に代入すると $\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\log \frac{1}{3}+\frac{1}{6}\log \frac{1}{6}=-\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{3}\log 3-\frac{1}{6}(\log 2+\log 3)=-\frac{2}{3}\log 2-\frac{1}{2}\log 3$ で一致。