凸最適化・組合せ最適化の問題

$x\le 0$ では $f(x)=+\infty$ なので $xy-f(x)=-\infty$ となり、上限には寄与しない。したがって
$$f^{\ast }(y)=\underset{x>0}{\sup }\left(xy-\frac{1}{x}-4x\right)=\underset{x>0}{\sup }\left((y-4)x-\frac{1}{x}\right).$$

$y<4$ のとき $c=4-y>0$ とおくと、
$$g(x)=-cx-\frac{1}{x}(x>0)$$
の上限を求めればよい。$g^{\prime }(x)=-c+\frac{1}{x^2}$、$g^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3}<0$ なので $g$ は $x>0$ で（狭義）凹であり、$g^{\prime }(x)=0$ となる点
$$x=\frac{1}{\sqrt{c}}$$
で最大になる。最大値は
$$g\left(\frac{1}{\sqrt{c}}\right)=-\frac{c}{\sqrt{c}}-\sqrt{c}=-2\sqrt{c}.$$
（相加平均・相乗平均の関係 $cx+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{c}$ からも同じ結果が得られる。等号は $x=1/\sqrt{c}$ のとき。）

よって $y<4$ のとき
$$f^{\ast }(y)=-2\sqrt{4-y}.$$

（確認: $y=0$ では $f^{\ast }(0)=-{\inf }_{x>0}f(x)$ であり、$\frac{1}{x}+4x\ge 2\sqrt{4}=4$（等号 $x=\frac{1}{2}$）より $f^{\ast }(0)=-4$。式でも $-2\sqrt{4}=-4$ で一致する。なお $y\ge 4$ では $f^{\ast }(y)=0$（$y=4$）や $+\infty$（$y>4$）となる。）

$x\le 0$ では $f(x)=+\infty$ なので上限に寄与せず、$f^{\ast }(y)={\sup }_{x>0}(xy-\frac{1}{x}-4x)={\sup }_{x>0}((y-4)x-\frac{1}{x})$。$a=y-4<0$ とおき $g(x)=ax-\frac{1}{x}$ $(x>0)$ を考える。$g^{\prime }(x)=a+\frac{1}{x^2}$、$g^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3}<0$ なので $g$ は狭義凹で、$g^{\prime }(x)=0$ すなわち $x_0=\frac{1}{\sqrt{-a}}=\frac{1}{\sqrt{4-y}}>0$ で最大値をとる（$x\to 0^{+}$ で $g\to -\infty$、$x\to \infty$ で $g\to -\infty$ なので上限は有限）。
$g(x_0)=\frac{a}{\sqrt{-a}}-\sqrt{-a}=-\sqrt{-a}-\sqrt{-a}=-2\sqrt{-a}=-2\sqrt{4-y}$。
検算: $y=0$ のとき $f^{\ast }(0)=-\inf f=-{\inf }_{x>0}(1/x+4x)=-4$（AM-GM で最小値 $2\sqrt{4}=4$）。式では $-2\sqrt{4}=-4$ で一致。