凸最適化・組合せ最適化の問題

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}+4x& (x>0)\\ +\infty & (x\le 0)\end{array}$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(xy-f(x))(y\in \mathbb{R})$$
とする。実数 $y$ が $y<4$ を満たすとき、$f^{\ast }(y)$ を $y$ の式で表せ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れ、$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ とする。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{1}{3}\Vert x{\Vert }_2^3+2\Vert x{\Vert }_1$$
で定め、その凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }(⟨x,y⟩-f(x))(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$f^{\ast }(5,6)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(1+e^{x_1}+e^{x_2}\right)$$
で定め、その凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\{⟨x,y⟩-f(x)\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$f^{\ast }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れる。関数 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1{x}_2+x_2{x}_3& (x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0)\\ +\infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^3}{\sup }(⟨y,x⟩-f(x))$$
とするとき、$y=(3,1,3)$ における値 $f^{\ast }(3,1,3)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れ、凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(e^{x_1}+e^{x_2}\right)+\frac{1}{2}(x_1-x_2{)}^2$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\left\{⟨y,x⟩-f(x)\right\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。
$$y^{\circ }=\left(\frac{3}{4}+\log 3,\frac{1}{4}-\log 3\right)$$
に対して、$f^{\ast }(y^{\circ })$ の値を求めよ。