凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を $f(x)=2x^2-3x+1$ で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(xy-f(x))(y\in \mathbb{R})$$
を $y$ の式で表せ。

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}+4x& (x>0)\\ +\infty & (x\le 0)\end{array}$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }(xy-f(x))(y\in \mathbb{R})$$
とする。実数 $y$ が $y<4$ を満たすとき、$f^{\ast }(y)$ を $y$ の式で表せ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れる。関数 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1{x}_2+x_2{x}_3& (x_1\ge 0,x_2\ge 0,x_3\ge 0)\\ +\infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^3}{\sup }(⟨y,x⟩-f(x))$$
とするとき、$y=(3,1,3)$ における値 $f^{\ast }(3,1,3)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(1+e^{x_1}+e^{x_2}\right)$$
で定め、その凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\{⟨x,y⟩-f(x)\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$f^{\ast }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ とユークリッドノルム $\Vert \cdot {\Vert }_2$ を入れ、$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|$ とする。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{1}{3}\Vert x{\Vert }_2^3+2\Vert x{\Vert }_1$$
で定め、その凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }(⟨x,y⟩-f(x))(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$f^{\ast }(5,6)$ の値を求めよ。

$n$ を正の整数、$\lambda >0$ を実数とし、$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\lambda \sum _{i=1}^n|x_i|+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2(x=(x_1,\dots ,x_n))$$
で定める。$f$ の凸共役 $f^{\ast }:{\mathbb{R}}^n\to (-\infty ,\infty ]$ を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\left(⟨y,x⟩-f(x)\right)$$
で定める（$⟨\cdot ,\cdot ⟩$ は標準内積）。実数 $a$ に対し $a_{+}=\max \{a,0\}$ と書く。このとき、すべての $y\in {\mathbb{R}}^n$ に対して
$$f^{\ast }(y)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\left((|y_i|-\lambda {)}_{+}\right)}^2$$
が成り立ち、特に $f^{\ast }$ はいたるところ有限であることを証明せよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れ、凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(e^{x_1}+e^{x_2}\right)+\frac{1}{2}(x_1-x_2{)}^2$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\left\{⟨y,x⟩-f(x)\right\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。
$$y^{\circ }=\left(\frac{3}{4}+\log 3,\frac{1}{4}-\log 3\right)$$
に対して、$f^{\ast }(y^{\circ })$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れ、
$$C=\left\{x\in {\mathbb{R}}^3|x_1+x_2+x_3=1,0\le x_i\le \frac{1}{2}(i=1,2,3)\right\}$$
とする。関数 $f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}\cup \{+\infty \}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sum _{i=1}^3{x}_i\log x_i& (x\in C)\\ +\infty & (x\notin C)\end{array}$$
で定める。ただし $0\log 0=0$ とする。$f$ の凸共役 $f^{\ast }(y)={\sup }_{x\in {\mathbb{R}}^3}\{⟨x,y⟩-f(x)\}$ について、$y=(2\log 3,\log 3,0)$ における値 $f^{\ast }(y)$ を求めよ。