導体棒の終端速度

重力などで加速する導体棒について、磁場と棒の速度の向きのなす角を考えて誘導起電力と電磁力の成分を求め、加速度が $0$ になる力のつり合いから一定になったときの速さ（例: 鉛直磁場中の斜面で $v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}$ ）を求められる

前提

磁場中を動く導体棒の誘導起電力（高校物理電磁気と交流）
運動方程式（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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磁場中を動く導体棒の誘導起電力（高校物理電磁気と交流）
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運動方程式（高校物理力と運動）

説明

磁場の中で導体棒が重力などに引かれて動きだすと、棒には誘導電流が流れます。その電流が磁場から受ける力（電磁力）は運動を妨げる向きにはたらき、速さが増すほど大きくなります。そのため加速度はしだいに小さくなり、やがて棒は一定の速さ（終端速度）で動くようになります。この技能では、斜面や鉛直なレールの上を動く棒について、磁場と速度のなす角まで考えてこの終端速度を求めます。

なぜそうしてよいのか

誘導起電力 $V = v B l$ は、棒が磁場を垂直に横切るときの式です。速度が磁場に対して斜めのときは、速度を磁場に垂直な成分 $v_{⊥}$ と磁場に平行な成分に分けます。平行な成分は磁力線を横切らないので、起電力を生みません。したがって $V = v_{⊥} B l$ となります（棒そのものは磁場と速度の両方に垂直に置かれているとします）。磁束で考えても同じ結果です。たとえば傾き $θ$ の斜面に鉛直な磁場 $B$ がかかっていると、斜面に垂直な磁場の成分は $B cos θ$ です。棒が1秒間に掃く面積は $l v$ なので、1秒あたりの磁束の変化は $v B l cos θ$ になります。

電磁力の大きさは $I B l$ です（電流の向きと磁場は垂直）。向きは電流と磁場の両方に垂直なので、運動方向と同じ向きになるとは限りません。斜面と鉛直磁場の例では、電磁力は水平になります。そこで電磁力を、運動方向の成分と、それに垂直な成分（垂直抗力とつり合う側）に分けて考えます。

運動方向の運動方程式は $ma = (駆動する力) - (電磁力の運動方向成分)$ です。電磁力は $v$ に比例して大きくなるので、 $a$ はだんだん $0$ に近づきます。 $a = 0$ のとき速さは変わらなくなり、その後もずっと一定に保たれます。だから「 $a = 0$ ⇔ 力のつり合い」の式を $v$ について解けば、終端速度が得られます。

手順

速度を、磁場に垂直な成分と平行な成分に分ける。誘導起電力は垂直成分だけから生じるので $V = v_{⊥} B l$ （斜面と鉛直磁場なら $V = v B l cos θ$ ）とする
回路の誘導電流を求める： $I = \frac{V}{R}$
電磁力の大きさ $F = I B l$ と向きを決める。向きは電流と磁場の両方に垂直で、運動を妨げる向き。そのうえで運動方向の成分を取る（斜面と鉛直磁場なら $F cos θ$ ）
運動方向の運動方程式 $ma = (駆動力) - (電磁力の運動方向成分)$ を立てる。 $a = 0$ とおいて $v$ について解く

例題

水平面と $3 0^{\circ}$ をなす斜面上に、間隔 $0.40 m$ の平行な2本の長い導体レールを、斜面の最大傾斜の方向に沿って置く。2本のレールの上端どうしは $2.0 Ω$ の抵抗でつながっている。質量 $0.020 kg$ の導体棒を、水平に（レールに垂直に）レールにのせて静かにはなした。棒はレールと垂直を保ったまま、摩擦なしに斜面を滑り下りる。空間には鉛直上向きに、磁束密度 $0.50 T$ の一様な磁場がある。棒とレールの抵抗、回路を流れる電流がつくる磁場、空気抵抗は無視し、重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。棒の速さは十分時間がたつと一定になる。その速さは何 m/s か。有効数字2桁で求めよ。

例題の解答

棒の速さを $v$ 、 $θ = 3 0^{\circ}$ 、 $B = 0.50 T$ 、 $l = 0.40 m$ 、 $R = 2.0 Ω$ 、 $m = 0.020 kg$ とおく。

手順1：速度は斜面に沿って下向きである。鉛直な磁場に垂直な成分は、速度の水平成分 $v cos θ$ になる。棒は水平で、磁場にも速度にも垂直に置かれている。よって $V = v B l cos θ$ となる。

手順2：誘導電流は $I = \frac{v B l cos θ}{R}$ である。

手順3：電磁力は鉛直な磁場と水平な棒の両方に垂直なので、水平向きになる。大きさは $F = I B l = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos θ}{R}$ で、運動を妨げる向きにはたらく。この力の斜面に沿った成分は $F cos θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$ で、斜面に沿って上向きである。斜面に垂直な成分 $F sin θ$ は棒を斜面に押しつける向きなので、運動方向の式には入らない。

手順4：斜面に沿って下向きを正とすると、運動方程式は $ma = m g sin θ - \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$ である。 $a = 0$ とおくと
$v = \frac{m g R sin θ}{B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ} = \frac{0.020 \times 9.8 \times 2.0 \times \frac{1}{2}}{0.5 0 ^{2} \times 0.4 0 ^{2} \times \frac{3}{4}} = \frac{0.196}{0.030} \approx 6.53$
となる。有効数字2桁で $6.5 m/s$ である。

答え: $6.5$

よくある誤り

磁場と速度が斜めなのに、起電力を $V = v B l$ のままにしてしまう誤り。正しくは、磁場に垂直な速度成分を使って、斜面と鉛直磁場なら $V = v B l cos θ$ とする。
電磁力が斜面に沿ってはたらくと考え、 $m g sin θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos θ}{R}$ としてしまう誤り。正しくは、電磁力は電流と磁場の両方に垂直な水平向きなので、斜面方向の成分をもう一度取る。式は $m g sin θ = \frac{v B ^{2} l ^{2} cos ^{2} θ}{R}$ となる。
終端速度では力がはたらいていない、と考えてしまう誤り。正しくは、重力の成分 $m g sin θ$ と電磁力の成分がつり合って、合力が $0$ になっている。電流は流れ続けており、電磁力 $I B l$ は $0$ ではない。
斜面に垂直な電磁力の成分 $F sin θ$ を運動方向の式に入れてしまう誤り。正しくは、この成分は垂直抗力とつり合う側に入る。運動方程式 $ma = \dots$ には運動方向の成分だけを入れる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
水平面と角 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ をなす斜面に沿って、2 本の長い平行な金属レールを間隔 $l$ で、斜面の最大傾斜の方向に置いた。レールの上端どうしは抵抗値 $R$ の抵抗でつながれている。この空間全体には、鉛直上向きに磁束密度の大きさ $B$ の一様な磁場がかかっている。
質量 $m$ の金属棒を、レールと垂直になるように（水平に）レールの上にのせ、静かにはなすと、棒はレールと垂直を保ったままレールに沿ってすべり下り、やがて一定の速さになった。この一定の速さを、 $m$ , $g$ , $R$ , $B$ , $l$ , $θ$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、金属棒とレールの電気抵抗、金属棒とレールの間の摩擦、回路の自己誘導は無視できるものとする。また、レールは十分に長く、棒はレールから外れないものとする。
$B$ 棒 $θ$
レールに沿った鉛直断面（棒は紙面に垂直に置かれている）