つながれた容器の気体

コックでつながれた容器の間で気体が移動するとき、全体の物質量が一定であることと各容器で $P V = n R T$ が成り立つことから、移動後の圧力や移動した物質量を求められる（容器ごとに温度が異なる場合も含む）

前提

気体の状態方程式（高校物理熱と気体）

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算数中学高校大学大学院

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重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
大気圧による力（中学理科天気とその変化）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
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逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
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分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
ボイル・シャルルの法則（高校物理熱と気体）
気体の状態方程式（高校物理熱と気体）

説明

コックでつながれた 2 つ以上の容器の間で気体が行き来するとき、コックを開けたあとの圧力や、片方の容器から移動した気体の物質量を求められるようになります。容器ごとに温度が違っていても使える方法で、「片方の容器だけを加熱・冷却する」「真空の容器へ気体を流し込む」といった場面で使います。

なぜそうしてよいのか

コックを開けても、気体が容器の外へ逃げたり、反応で増減したりしなければ、すべての容器に入っている気体の物質量の合計は変わりません。これが第一の手がかりです。

第二の手がかりは、コックを開けて十分に時間がたつと、つながった容器の間では圧力が等しくなることです（圧力に差があれば、高い方から低い方へ気体が流れ続けるので、止まったときには等しくなっています）。一方、温度は容器ごとに別々に保てるので、各容器の気体の物質量はそれぞれ $n_{i} = \frac{P V _{i}}{R T _{i}}$ と表されます。共通の圧力 $P$ を使ってこれらを足し合わせ、「はじめの物質量の合計」と等しいとおけば、未知数は $P$ だけの方程式になります。

温度が容器ごとに違うときにボイル・シャルルの法則を全体にそのまま使えないのは、それが 1 つの温度をもつ一定量の気体についての法則だからです。容器ごとに $P V = n R T$ を書いて物質量で足し合わせれば、温度が異なっていても正しく扱えます。

手順

はじめの状態で、各容器の気体の物質量を $n = \frac{P V}{R T}$ で表し、合計 $n_{全}$ を求める（真空の容器は $0$ ）
コックを開けたあとの共通の圧力を $P$ とおき、各容器の物質量を $n_{i} = \frac{P V _{i}}{R T _{i}}$ （ $T_{i}$ はその容器の絶対温度）で表す
物質量の保存 $\frac{P V _{1}}{R T _{1}} + \frac{P V _{2}}{R T _{2}} = n_{全}$ を立てて $P$ を求める（ $R$ は両辺で約分できることが多い）
移動した物質量を聞かれたら、ある容器について「あとの物質量 − はじめの物質量」を計算する

例題

容積 2.0 L の容器 A と容積 3.0 L の容器 B がコックでつながれている。はじめコックを閉じ、A には 27 ℃で圧力 $1.5 \times 1 0^{5}$ Pa の窒素を入れ、B は真空にした。次に、A を 27 ℃に保ったまま B を 177 ℃に保ち、コックを開けて十分に時間をおいた。このときの容器内の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体は理想気体とみなし、コックと連結部の容積は無視できるものとする。気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ とする。

例題の解答

手順 1（はじめの物質量）: A は $T = 27 + 273 = 300$ K なので
$n_{全} = \frac{1.5 \times 1 0 ^{5} \times 2.0}{R \times 300} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{3}}{R} mol$
B は真空なので $0$ mol。

手順 2（あとの物質量）: 共通の圧力を $P$ とする。A は 300 K、B は $177 + 273 = 450$ K なので
$n_{A} = \frac{P \times 2.0}{R \times 300}, n_{B} = \frac{P \times 3.0}{R \times 450}$

手順 3（物質量の保存）:
$\frac{2.0 P}{300 R} + \frac{3.0 P}{450 R} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{3}}{R}$
$\frac{3.0}{450} = \frac{2.0}{300}$ なので左辺は $\frac{4.0 P}{300 R}$ 。両辺に $R$ をかけて
$\frac{4.0 P}{300} = 1.0 \times 1 0^{3} \Rightarrow P = 7.5 \times 1 0^{4} Pa$

答え: $7.5 \times 1 0^{4}$

よくある誤り

温度が違うのに体積だけで圧力を分配し、 $P = 1.5 \times 1 0^{5} \times \frac{2.0}{2.0 + 3.0} = 6.0 \times 1 0^{4}$ Pa としてしまう誤り。正しくは容器ごとに $n_{i} = \frac{P V _{i}}{R T _{i}}$ と書き、 $\frac{2.0 P}{300 R} + \frac{3.0 P}{450 R} = n_{全}$ から求める。
コックを開けたあと、容器ごとに圧力が違うとして未知数を 2 つおいてしまう誤り。正しくは、つながった容器の圧力は等しくなるので共通の $P$ を 1 つだけおく（温度は容器ごとに違ってよい）。
温度をセルシウス温度のまま $\frac{3.0 P}{177 R}$ のように代入してしまう誤り。正しくは絶対温度 $T = 177 + 273 = 450$ K を使う。
移動した物質量を「B のあとの物質量 − A のはじめの物質量」のように、別の容器どうしで差をとってしまう誤り。正しくは同じ容器について $n_{B} (あと) - n_{B} (はじめ)$ を計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
容積 $2.0 L$ の容器 A と容積 $3.0 L$ の容器 B が、コックのついた細い管でつながれている。はじめコックは閉じていて、容器 A には窒素が $3.0 \times 1 0^{5} Pa$ 、容器 B には窒素が $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ で入っている。温度を $2 7^{\circ} C$ に保ったままコックを開いて、十分に時間がたったとき、容器内の窒素の圧力は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、窒素は理想気体とみなし、管の容積は無視できるものとする。

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
内容積 $2.0 L$ の容器 A と内容積 $3.0 L$ の容器 B が、コックの付いた細い管でつながれている。はじめコックを開いた状態で、A と B には窒素が入っており、全体の温度は $2 7^{\circ} C$ 、圧力は $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ であった。
コックを開いたまま、B の温度を $2 7^{\circ} C$ に保ちながら A だけを加熱して $22 7^{\circ} C$ に保ったところ、窒素の一部が A から B へ移動し、やがて全体の圧力が一様になって変化しなくなった。このとき、A から B へ移動した窒素の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。
ただし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ 、 $0^{\circ} C$ は $273 K$ とし、窒素は理想気体とみなす。容器の内容積は温度によって変化せず、細い管の内容積は無視できるものとする。

この技能の次に学べること

混合気体の分圧とモル分率（高校化学物質の状態と気体）