混合気体の分圧とモル分率

ドルトンの分圧の法則 $P = p_{A} + p_{B}$ と $p_{A} = \frac{n _{A}}{n _{A} + n _{B}} P$ を使って、混合気体の分圧・全圧・モル分率を求められる（容器をつないで混合する場合を含む）

前提

つながれた容器の気体（高校化学物質の状態と気体）

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算数中学高校大学大学院

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気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
つながれた容器の気体（高校化学物質の状態と気体）

説明

2 種類以上の気体が混ざった混合気体について、成分ごとの圧力（分圧）、全体の圧力（全圧）、成分の物質量の割合（モル分率）を互いに求められるようになります。空気のような混合気体の各成分の圧力を求めたり、別々の容器に入れた気体をコックでつないで混ぜたあとの各成分の圧力を求めたりする場面で使います。

なぜそうしてよいのか

混合気体の中のある成分 A の分圧 $p_{A}$ とは、「A だけが、混合気体と同じ容器（体積 $V$ ）・同じ温度 $T$ で、ひとりで容器全体を満たしたとしたときの圧力」のことです。理想気体では、分子の大きさや分子間力を考えないので、各成分の分子はほかの成分があってもなくても同じように壁にぶつかります。そのため、それぞれが単独で $p_{A} V = n_{A} R T$ 、 $p_{B} V = n_{B} R T$ を満たします。

この 2 式を足すと $(p_{A} + p_{B}) V = (n_{A} + n_{B}) R T$ となります。一方、混合気体全体についても状態方程式 $P V = (n_{A} + n_{B}) R T$ が成り立つので、 $P = p_{A} + p_{B}$ （全圧は分圧の和、ドルトンの分圧の法則）が得られます。

さらに $p_{A} V = n_{A} R T$ を $P V = (n_{A} + n_{B}) R T$ で割ると、 $V$ と $R T$ が消えて $\frac{p _{A}}{P} = \frac{n _{A}}{n _{A} + n _{B}}$ となります。右辺の $\frac{n _{A}}{n _{A} + n _{B}}$ を A のモル分率 $x_{A}$ といい、 $p_{A} = x_{A} P$ です。つまり、同じ容器・同じ温度の中では、圧力は物質量に比例して分け合われる、ということです。

手順

各成分の物質量 $n_{A}, n_{B}$ を求める（容器をつなぐ場合は、混ぜる前のそれぞれの容器で $n = \frac{P V}{R T}$ を使う。 $R T$ が共通なら $P V$ の比だけでもよい）
モル分率を求める： $x_{A} = \frac{n _{A}}{n _{A} + n _{B}}$ 、 $x_{B} = \frac{n _{B}}{n _{A} + n _{B}}$ （ $x_{A} + x_{B} = 1$ ）
全圧 $P$ を求める：混合後の全体積 $V$ と温度 $T$ で $P = \frac{( n _{A} + n _{B} ) R T}{V}$
分圧を求める： $p_{A} = x_{A} P$ 、 $p_{B} = x_{B} P$ （確かめとして $p_{A} + p_{B} = P$ ）

例題

容積 2.0 L の容器 A に圧力 $3.0 \times 1 0^{5}$ Pa の酸素が、容積 3.0 L の容器 B に圧力 $1.0 \times 1 0^{5}$ Pa の窒素が入っており、A と B はコックでつながれている。温度を一定に保ったままコックを開け、十分に時間をおいた。このときの酸素の分圧は何 Pa か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体は理想気体とみなし、気体どうしは反応せず、コックと連結部の容積は無視できるものとする。

例題の解答

温度を $T$ 、気体定数を $R$ とする。

手順 1（物質量）:
$n_{O_{2}} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{5} \times 2.0}{R T} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{5}}{R T}, n_{N_{2}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{5} \times 3.0}{R T} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{5}}{R T}$

手順 2（モル分率）:
$x_{O_{2}} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{5}}{6.0 \times 1 0 ^{5} + 3.0 \times 1 0 ^{5}} = \frac{2}{3}$

手順 3（全圧）: 混合後の体積は $2.0 + 3.0 = 5.0$ L なので
$P = \frac{( n _{O_{2}} + n _{N_{2}} ) R T}{5.0} = \frac{9.0 \times 1 0 ^{5}}{5.0} = 1.8 \times 1 0^{5} Pa$

手順 4（分圧）:
$p_{O_{2}} = \frac{2}{3} \times 1.8 \times 1 0^{5} = 1.2 \times 1 0^{5} Pa$
（確かめ: $p_{N_{2}} = \frac{1}{3} \times 1.8 \times 1 0^{5} = 6.0 \times 1 0^{4}$ Pa で、和は $1.8 \times 1 0^{5}$ Pa になる。）

答え: $1.2 \times 1 0^{5}$

よくある誤り

容器をつないだあとも、酸素の分圧を混ぜる前の圧力 $3.0 \times 1 0^{5}$ Pa のままとしてしまう誤り。正しくは、酸素は全体積 $5.0$ L に広がるので $p_{O_{2}} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{5} \times 2.0}{5.0} = 1.2 \times 1 0^{5}$ Pa になる。
全圧を、混ぜる前の圧力の和 $3.0 \times 1 0^{5} + 1.0 \times 1 0^{5} = 4.0 \times 1 0^{5}$ Pa としてしまう誤り。正しくは、全圧は混合後の分圧の和 $P = p_{O_{2}} + p_{N_{2}} = 1.2 \times 1 0^{5} + 6.0 \times 1 0^{4} = 1.8 \times 1 0^{5}$ Pa である。
モル分率を体積の比や質量の比で $x_{O_{2}} = \frac{2.0}{2.0 + 3.0}$ のように計算してしまう誤り。正しくは物質量の比 $x_{O_{2}} = \frac{n _{O_{2}}}{n _{O_{2}} + n _{N_{2}}}$ で、混ぜる前の圧力が違えば体積の比とは一致しない。
分圧を「その成分が単独で入っていた元の容器での圧力」と考えてしまう誤り。正しくは、分圧は混合気体と同じ体積・同じ温度で、その成分だけが容器全体を満たしたときの圧力 $p_{A} = \frac{n _{A} R T}{V}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある容器に、ヘリウム $He$ $0.20 mol$ とアルゴン $Ar$ $0.30 mol$ だけを入れたところ、混合気体の全圧は $1.5 \times 1 0^{5} Pa$ になった。気体はすべて理想気体とみなし、互いに反応しないものとする。このとき、ヘリウムの分圧は何 $Pa$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

混合気体の平均分子量と組成（高校化学物質の状態と気体）
反応前後の混合気体の圧力（高校化学物質の状態と気体）
飽和蒸気圧と液体が存在するかの判定（高校化学物質の状態と気体）
混合気体の溶解（高校化学溶液の性質）
圧平衡定数と分圧（高校化学化学平衡）
ラウールの法則と理想溶液の気液平衡（大学化学化学熱力学）