物質の状態と気体の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校化学物質の状態と気体

容積 $2.0 L$ の密閉容器に一酸化炭素 $CO$ と酸素 $O_{2}$ の混合気体を入れたところ、 $2 7^{\circ} C$ で全圧が $1.5 \times 1 0^{5} Pa$ であった。この混合気体に点火して、一酸化炭素をすべて燃焼させ、二酸化炭素 $CO_{2}$ にした。その後、容器を $2 7^{\circ} C$ に戻したところ、全圧は $1.2 \times 1 0^{5} Pa$ になった。

反応前の混合気体に含まれていた一酸化炭素の物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、気体はすべて理想気体とみなし、起こる反応は $CO$ が $CO_{2}$ になる燃焼だけとする。容器の容積は変化しないものとし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L / (K \cdot mol)$ 、 $2 7^{\circ} C$ は $300 K$ とする。

この問題で使うもの

反応前後の混合気体の圧力（説明と入口の問題）
化学反応式と量的関係（説明と入口の問題）
混合気体の分圧とモル分率（説明と入口の問題）
気体の状態方程式（説明と入口の問題）

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ヒント

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ヒント 1

温度と体積が同じなら、各気体の分圧は物質量に比例します。物質量の代わりに分圧で反応前後の量を追いかけましょう。

ヒント 2

反応式 $2 CO + O_{2} \to 2 CO_{2}$ より、CO が $p_{CO}$ 分燃えると、気体全体は $\frac{1}{2} p_{CO}$ 分だけ減ります。

ヒント 3

全圧の減少 $1.5 \times 1 0^{5} - 1.2 \times 1 0^{5} = 3.0 \times 1 0^{4} Pa$ が $\frac{1}{2} p_{CO}$ に等しいので、 $p_{CO}$ が求まります。あとは $n = \frac{p V}{R T}$ で物質量に直します。

答えと解説

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4.8 \times 1 0^{- 2}

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解説を読む

反応式と物質量の変化

一酸化炭素の燃焼の反応式は
$2 CO + O_{2} ⟶ 2 CO_{2}$
である。

温度と体積が一定のとき、状態方程式 $p V = n R T$ より各気体の分圧は物質量に比例する。そこで物質量の代わりに分圧（27℃、2.0 L での値）で量を表す。

反応前の CO の分圧を $p_{CO}$ 、O $_{2}$ の分圧を $p_{O_{2}}$ とすると、ドルトンの分圧の法則より
$p_{CO} + p_{O_{2}} = 1.5 \times 1 0^{5} Pa$

CO はすべて燃焼したので、反応式の係数から

	CO	O $_{2}$	CO $_{2}$
反応前	$p_{CO}$	$p_{O_{2}}$	$0$
変化量	$- p_{CO}$	$- \frac{1}{2} p_{CO}$	$+ p_{CO}$
反応後	$0$	$p_{O_{2}} - \frac{1}{2} p_{CO}$	$p_{CO}$

反応後の全圧は
$p_{O_{2}} - \frac{1}{2} p_{CO} + p_{CO} = (p_{CO} + p_{O_{2}}) - \frac{1}{2} p_{CO}$
これが $1.2 \times 1 0^{5} Pa$ なので
$1.5 \times 1 0^{5} - \frac{1}{2} p_{CO} = 1.2 \times 1 0^{5}$
$p_{CO} = 6.0 \times 1 0^{4} Pa$

このとき $p_{O_{2}} = 9.0 \times 1 0^{4} Pa$ で、反応に必要な O $_{2}$ は $3.0 \times 1 0^{4} Pa$ 分なので O $_{2}$ は足りており、CO がすべて燃焼したことと矛盾しない。

物質量に直す

状態方程式 $n = \frac{p V}{R T}$ より
$n_{CO} = \frac{6.0 \times 1 0 ^{4} \times 2.0}{8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300} = \frac{1.2 \times 1 0 ^{5}}{2.49 \times 1 0 ^{6}} = 4.82 \times 1 0^{- 2} mol$

よって有効数字 2 桁で $4.8 \times 1 0^{- 2} mol$ 。

別解

反応式は $2 CO + O_{2} \to 2 C O_{2}$ 。CO が $x$ mol 反応すると、気体の全物質量は $x$ mol 減って $x$ mol の $C O_{2}$ になり、 $O_{2}$ が $x /2$ mol 減るので、全体で $x /2$ mol 減少する。

$R T = 8.3 \times 1 0^{3} \times 300 = 2.49 \times 1 0^{6}$ Pa・L/mol、 $V = 2.0$ L。同じ温度・体積なので、圧力の減少は物質量の減少に比例する。
圧力の減少: $1.5 \times 1 0^{5} - 1.2 \times 1 0^{5} = 3.0 \times 1 0^{4}$ Pa
物質量の減少: $Δ n = \frac{Δ P V}{R T} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{4} \times 2.0}{2.49 \times 1 0 ^{6}} \approx 0.02410 mol$

$x /2 = 0.02410$ より $x = 0.04819 mol \approx 0.048 mol$ 。

検算: 反応前の全物質量は $\frac{1.5 \times 1 0 ^{5} \times 2.0}{2.49 \times 1 0 ^{6}} \approx 0.1205$ mol。CO が 0.0482 mol なら $O_{2}$ は $0.0723$ mol で、必要な $O_{2}$ は $0.0241$ mol なので足りる（CO がすべて燃焼する）。反応後は $0.1205 - 0.0241 = 0.0964$ mol で、 $P = \frac{0.0964 \times 2.49 \times 1 0 ^{6}}{2.0} \approx 1.2 \times 1 0^{5}$ Pa となり一致する。

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