混合気体の平均分子量と組成

混合気体の平均分子量 $M ˉ = \sum x_{i} M_{i}$ （ $x_{i}$ はモル分率）を求められ、逆に混合気体の密度や平均分子量から各成分のモル分率・分圧を求められる

前提

混合気体の分圧とモル分率（高校化学物質の状態と気体）
状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

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算数中学高校大学大学院

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状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

説明

空気のような混合気体を、あたかも 1 種類の分子からなる気体のように扱うときの「平均分子量」 $M ˉ$ を求められるようになります。逆に、混合気体の密度や平均分子量の測定値から、各成分のモル分率や分圧を求めることもできます。混合気体の組成を、質量や密度の測定から決める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

混合気体の平均分子量は、「混合気体 1 mol あたりの質量」[g/mol] の数値として定めます。成分 A（モル質量 $M_{A}$ ）が $n_{A}$ mol、成分 B（モル質量 $M_{B}$ ）が $n_{B}$ mol あるとき、全体の質量は $n_{A} M_{A} + n_{B} M_{B}$ 、全体の物質量は $n_{A} + n_{B}$ なので、
$M ˉ = \frac{n _{A} M _{A} + n _{B} M _{B}}{n _{A} + n _{B}} = x_{A} M_{A} + x_{B} M_{B}$
となります（ $x_{A} = \frac{n _{A}}{n _{A} + n _{B}}$ はモル分率）。つまり平均分子量は、各成分の分子量をモル分率で重みづけした平均です。単純に $\frac{M _{A} + M _{B}}{2}$ とするのは、物質量が等しいとき（ $x_{A} = x_{B} = \frac{1}{2}$ ）だけです。

理想気体の混合物では、状態方程式は成分の種類によらず全物質量 $n = n_{A} + n_{B}$ で $P V = n R T$ と成り立ちます。全質量を $w$ とすると $n = \frac{w}{M ˉ}$ なので $P V = \frac{w}{M ˉ} R T$ となり、1 種類の気体のときの式で $M$ を $M ˉ$ に置きかえたものが使えます。したがって混合気体の密度 $d$ から $M ˉ = \frac{d R T}{P}$ で平均分子量が求まり、そこから $M ˉ = x_{A} M_{A} + (1 - x_{A}) M_{B}$ を解けばモル分率が、さらに $p_{A} = x_{A} P$ で分圧が求まります。

手順

各成分の分子量 $M_{A}, M_{B}$ を原子量から求める
平均分子量を求めるときは、モル分率を使って $M ˉ = x_{A} M_{A} + x_{B} M_{B}$ を計算する（密度が与えられたら $M ˉ = \frac{d R T}{P}$ ）
組成を求めるときは、A のモル分率を $x$ とおき、 $M ˉ = x M_{A} + (1 - x) M_{B}$ を $x$ について解く
分圧が必要なら $p_{A} = x_{A} P, p_{B} = x_{B} P$ で求める

例題

窒素と酸素だけからなる混合気体の平均分子量は 29.0 であった。この混合気体中の酸素のモル分率を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、原子量は N = 14、O = 16 とする。

例題の解答

手順 1（分子量）: $N_{2} = 14 \times 2 = 28$ 、 $O_{2} = 16 \times 2 = 32$ 。

手順 2: 平均分子量は $M ˉ = 29.0$ と与えられているので、ここでは計算不要。

手順 3（組成）: 酸素のモル分率を $x$ とすると、窒素のモル分率は $1 - x$ なので
$29.0 = 32 x + 28 (1 - x) = 28 + 4 x$
$4 x = 1.0 \Rightarrow x = 0.25$

手順 4: 分圧は問われていないので不要（全圧が $P$ なら酸素の分圧は $0.25 P$ となる）。

答え: $0.25$

よくある誤り

平均分子量を成分の分子量の単純な平均で $M ˉ = \frac{28 + 32}{2} = 30$ としてしまう誤り。正しくはモル分率で重みづけして $M ˉ = x_{N_{2}} \times 28 + x_{O_{2}} \times 32$ とする（単純な平均になるのは物質量が等しいときだけ）。
質量の割合（質量分率）を重みにして平均分子量を計算してしまう誤り。正しくは物質量の割合（モル分率）を使い、 $M ˉ = \frac{n _{A} M _{A} + n _{B} M _{B}}{n _{A} + n _{B}}$ とする。
組成を求める式で $1 - x$ を忘れ、 $29.0 = 32 x + 28 x$ としてしまう誤り。正しくは、2 成分のモル分率の和は 1 なので $29.0 = 32 x + 28 (1 - x)$ とおく。
混合気体の密度から $M ˉ = \frac{d R T}{P}$ を求めるとき、 $P$ にある成分の分圧を使ってしまう誤り。正しくは、密度は混合気体全体の質量によるものなので、全圧 $P$ を使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
二酸化炭素 $C O_{2}$ と窒素 $N_{2}$ を物質量の比 $1 : 3$ で混合した気体がある。この混合気体の平均分子量を、有効数字 2 桁で求めよ。ただし、原子量は $C = 12$ 、 $N = 14$ 、 $O = 16$ とする。

混合気体の平均分子量と組成

前提

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