状態方程式と気体の質量・分子量

気体の状態方程式 $P V = \frac{w}{M} R T$ を使って、気体の質量 $w$ ・物質量・分子量 $M$ を求められ、気体の密度 $d$ から $M = \frac{d R T}{P}$ で分子量を求められる

前提

気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）

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算数中学高校大学大学院

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気体の状態方程式（高校物理熱と気体）
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原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）

説明

気体の状態方程式 $P V = n R T$ の物質量 $n$ を $\frac{w}{M}$ （質量 $w$ ÷ モル質量 $M$ ）に置きかえると、 $P V = \frac{w}{M} R T$ という形になります。これを使うと、圧力・体積・温度と質量を測るだけで、その気体の分子量を求めたり、逆に分子量がわかっている気体の質量を求めたりできます。さらに、気体の密度 $d$ がわかれば $M = \frac{d R T}{P}$ から分子量が求められ、揮発性の液体の分子量の測定などに使われます。

なぜそうしてよいのか

状態方程式 $P V = n R T$ は「気体の粒子の数（物質量）」と圧力・体積・温度を結ぶ式です。ところが実験で直接はかりやすいのは物質量ではなく質量 $w$ です。そこで、物質量と質量の関係 $n = \frac{w}{M}$ （ $M$ はモル質量 [g/mol]）を代入すると $P V = \frac{w}{M} R T$ となり、未知数が $M$ や $w$ の 1 つだけなら、式を変形して求められます。たとえば分子量を求めたいときは $M = \frac{w R T}{P V}$ です。モル質量 [g/mol] の数値は分子量と同じなので、これで分子量が求まります。

密度 $d$ は「体積あたりの質量」 $d = \frac{w}{V}$ です。 $P V = \frac{w}{M} R T$ の両辺を $V$ で割ると $P = \frac{w}{V} \cdot \frac{R T}{M} = \frac{d R T}{M}$ となり、 $M = \frac{d R T}{P}$ が得られます。同じ温度・圧力では、気体 1 mol の体積はどの気体でも等しいので、密度は分子量に比例する、というのがこの式の直観的な意味です。

なお、 $R$ の値の単位（たとえば $8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ ）に合わせて、圧力・体積の単位をそろえ、温度は必ず絶対温度 [K] で代入します。

手順

問題文から $P$ ・ $V$ ・ $T$ ・ $w$ （または密度 $d$ ）と気体定数 $R$ を読み取り、 $R$ の単位に合わせて単位をそろえる（温度は $T = t + 273$ [K] に直す）
求めたい量を決め、 $P V = \frac{w}{M} R T$ を変形する（分子量なら $M = \frac{w R T}{P V}$ 、質量なら $w = \frac{P V M}{R T}$ 、密度が与えられたら $M = \frac{d R T}{P}$ ）
数値を代入して計算する。物質量が必要なら $n = \frac{w}{M}$ や $n = \frac{P V}{R T}$ で求める
指定された有効数字の桁数に丸める（分子量はモル質量 [g/mol] の数値として答える）

例題

ある気体 1.6 g を容積 0.83 L の容器に入れ、27 ℃に保ったところ、圧力は $1.5 \times 1 0^{5}$ Pa になった。この気体の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体は理想気体とみなし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ とする。

例題の解答

手順 1（読み取りと単位）: $w = 1.6$ g、 $V = 0.83$ L、 $P = 1.5 \times 1 0^{5}$ Pa、 $T = 27 + 273 = 300$ K。 $R$ の単位は Pa・L なので、このまま使える。

手順 2（式の変形）: 分子量を求めたいので、 $P V = \frac{w}{M} R T$ を $M$ について解いて
$M = \frac{w R T}{P V}$

手順 3（代入）:
$M = \frac{1.6 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300}{1.5 \times 1 0 ^{5} \times 0.83} = \frac{1.6 \times 2.49 \times 1 0 ^{6}}{1.245 \times 1 0 ^{5}} = 1.6 \times 20 = 32 g/mol$

手順 4（丸め）: モル質量が 32 g/mol なので、分子量は 32（有効数字 2 桁）。

答え: $32$

よくある誤り

温度をセルシウス温度のまま代入してしまう誤り。正しくは絶対温度に直して $T = 27 + 273 = 300$ K を使う（ $M = \frac{w R T}{P V}$ に $T = 27$ を入れると答えが約 1/11 になってしまう）。
$R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ を使うのに、体積を mL のまま、または圧力を kPa のまま代入してしまう誤り。正しくは $500 mL = 0.500$ L、 $100 kPa = 1.00 \times 1 0^{5}$ Pa のように $R$ の単位に合わせてから代入する。
式を変形するときに分母と分子を取り違え、 $M = \frac{P V}{w R T}$ としてしまう誤り。正しくは $P V = \frac{w}{M} R T$ の両辺に $M$ をかけて $P V$ で割り、 $M = \frac{w R T}{P V}$ とする。
密度から分子量を求めるとき $M = \frac{d P}{R T}$ としてしまう誤り。正しくは $P = \frac{d R T}{M}$ より $M = \frac{d R T}{P}$ （密度 $d$ の単位 g/L と $R$ の L をそろえる）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある気体 $1.1 g$ を容器に入れたところ、温度 $12 7^{\circ} C$ 、圧力 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ で、体積は $0.83 L$ であった。この気体の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体は理想気体とみなし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ 、絶対温度は $T = t + 273$ （ $t$ はセルシウス温度）とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

揮発性液体の分子量の測定（高校化学物質の状態と気体）
圧縮率因子を使った物質量の計算（高校化学物質の状態と気体）
混合気体の平均分子量と組成（高校化学物質の状態と気体）
密閉容器内での気体の溶解平衡（高校化学溶液の性質）
分子量の測定と分子式（高校化学有機化合物）