圧縮率因子を使った物質量の計算

与えられた $Z$ を使って $n = \frac{P V}{Z R T}$ で高圧の実在気体の物質量を求め、ボンベから取り出した量や、膨張させて理想気体とみなせる状態との比較から、質量・体積・もとの状態の $Z$ を求められる

前提

実在気体の圧縮率因子（高校化学物質の状態と気体）
状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

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算数中学高校大学大学院

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実在気体の圧縮率因子（高校化学物質の状態と気体）
状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

説明

高圧ボンベの中の気体のように理想気体として扱えない実在気体でも、圧縮率因子 $Z$ が与えられていれば、 $n = \frac{P V}{Z R T}$ で物質量を正しく求められるようになります。物質量がわかれば、モル質量を使って質量を求めたり、ボンベから取り出した気体の量を計算したりできます。また、気体を低圧まで膨張させて理想気体とみなせる状態と比べることで、もとの高圧状態での $Z$ を求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

圧縮率因子は $Z = \frac{P V}{n R T}$ と定義されています。理想気体では $Z = 1$ ですが、実在気体では $Z$ が 1 からずれます。この定義式は $n$ ・ $P$ ・ $V$ ・ $T$ の関係そのものなので、 $Z$ の値がわかっていれば、 $n$ について解いて $n = \frac{P V}{Z R T}$ と使えます。言いかえると、理想気体の式で求めた物質量 $\frac{P V}{R T}$ を $Z$ で割って補正しているのです。 $Z < 1$ （分子間力で縮んでいる）なら、同じ $P, V, T$ に理想気体の計算より多くの分子が詰まっていることになり、 $n$ は $\frac{P V}{R T}$ より大きくなります。

気体の物質量は、圧縮しても膨張させても（漏れたり反応したりしなければ）変わりません。そこで、高圧の状態の気体を十分に低い圧力まで膨張させ、そこでは理想気体とみなせる（ $Z = 1$ ）とすると、低圧側で $n = \frac{P ^{'} V ^{'}}{R T ^{'}}$ として物質量を求められます。この $n$ を高圧側の $Z = \frac{P V}{n R T}$ に入れれば、もとの状態の $Z$ が求まります。

手順

高圧側の $P, V, T$ と $Z$ 、気体定数 $R$ を読み取り、単位をそろえる（温度は絶対温度）
$n = \frac{P V}{Z R T}$ で物質量を求める（ $Z$ が未知なら、理想気体とみなせる低圧の状態で $n = \frac{P ^{'} V ^{'}}{R T ^{'}}$ として物質量を求め、 $Z = \frac{P V}{n R T}$ を計算する）
質量が必要なら $w = n M$ で換算する
ボンベから取り出した量を聞かれたら、取り出す前と後の物質量をそれぞれ（それぞれの $Z$ を使って）求め、差をとる

例題

容積 10 L のボンベに、27 ℃で圧力 $1.0 \times 1 0^{7}$ Pa のメタンが入っている。この状態のメタンの圧縮率因子は $Z = 0.90$ である。ボンベ内のメタンの物質量は何 mol か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ とする。

例題の解答

手順 1（読み取り）: $P = 1.0 \times 1 0^{7}$ Pa、 $V = 10$ L、 $T = 27 + 273 = 300$ K、 $Z = 0.90$ 。 $R$ の単位が Pa・L なので、そのまま使える。

手順 2（物質量）:
$n = \frac{P V}{Z R T} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{7} \times 10}{0.90 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 300} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{8}}{2.241 \times 1 0 ^{6}} \approx 44.6$
よって物質量は 45 mol（有効数字 2 桁）。

（参考：理想気体として $\frac{P V}{R T}$ で計算すると約 40 mol となり、 $Z < 1$ の実在気体では実際にはそれより多く入っていることがわかる。手順 3・4 はこの問いでは不要。）

答え: $45$

よくある誤り

$Z$ を分子にかけて $n = \frac{Z P V}{R T}$ としてしまう誤り。正しくは $Z = \frac{P V}{n R T}$ を $n$ について解いて $n = \frac{P V}{Z R T}$ （例題では $0.90$ で割るので約 45 mol、かけると約 36 mol になってしまう）。
高圧の気体なのに $Z$ を使わずに $n = \frac{P V}{R T}$ で計算してしまう誤り。正しくは、 $Z$ が与えられた状態では必ず $n = \frac{P V}{Z R T}$ を使い、理想気体の式を使えるのは $Z = 1$ とみなせる低圧の状態だけである。
ボンベから取り出した量を、取り出す前後の圧力の差だけで $Δ n = \frac{( P _{1} - P _{2} ) V}{R T}$ と計算してしまう誤り。正しくは、前後で $Z$ が異なるので $Δ n = \frac{P _{1} V}{Z _{1} R T} - \frac{P _{2} V}{Z _{2} R T}$ とそれぞれの $Z$ を使う。
膨張させた低圧側の状態にも高圧側の $Z$ を使ってしまう誤り。正しくは、理想気体とみなせる低圧側では $Z = 1$ として $n = \frac{P ^{'} V ^{'}}{R T ^{'}}$ で物質量を求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
容積 $10 L$ の耐圧容器に、メタン $C H_{4}$ が温度 $300 K$ 、圧力 $1.0 \times 1 0^{7} Pa$ で入っている。この状態のメタンは理想気体とはみなせず、圧縮率因子 $Z = \frac{P V}{n R T}$ の値は $0.90$ である。容器内のメタンの物質量は何 $mol$ か。気体定数を $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ として、有効数字 2 桁で求めよ。

圧縮率因子を使った物質量の計算

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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