揮発性液体の分子量の測定

容器を揮発性物質の蒸気だけで満たし、冷やして凝縮させた質量をはかる実験（デュマ法）から、蒸気の温度・圧力・容器の体積を使って物質の分子量を求められる

前提

状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

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算数中学高校大学大学院

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原子量・分子量・式量（高校化学物質量と化学反応式）
物質量と質量・粒子の数（高校化学物質量と化学反応式）
状態方程式と気体の質量・分子量（高校化学物質の状態と気体）

説明

沸点が低く蒸発しやすい液体（揮発性液体）の分子量を、実験データから求められるようになります。容器を液体の蒸気だけで満たし、その蒸気を冷やして液体に戻した質量をはかる方法（デュマ法）を使います。測定した質量・容器の体積・加熱したときの温度・大気圧を $P V = \frac{w}{M} R T$ に入れれば、分子量 $M$ が求まります。

なぜそうしてよいのか

実験の流れは次のとおりです。小さな穴をあけたふた（アルミ箔など）をつけたフラスコに揮発性の液体を少し多めに入れ、液体の沸点より高い温度の湯に浸します。液体はすべて蒸発し、その蒸気が中の空気を穴から押し出し、余った蒸気も穴から外へ出ていきます。蒸発が終わったとき、フラスコの中は液体の蒸気だけで満たされ、穴で外とつながっているので、蒸気の圧力は大気圧 $P$ に等しく、温度は湯の温度 $T$ 、体積はフラスコの容積 $V$ です。

このあとフラスコを室温まで冷やすと、中の蒸気は凝縮して液体に戻ります。冷却前後のフラスコの質量の差から、フラスコを満たしていた蒸気の質量 $w$ がわかります。つまり「温度 $T$ ・圧力 $P$ ・体積 $V$ のときに質量 $w$ だった気体」というデータがそろうので、状態方程式 $P V = \frac{w}{M} R T$ を $M$ について解いた $M = \frac{w R T}{P V}$ で分子量が求まります。

ここで大事なのは、使う温度は「蒸気だけで満たされていたときの温度（湯の温度）」であり、質量をはかった室温ではないことです。また、はじめに入れた液体の量ではなく、フラスコに残った（凝縮した）液体の質量を使います。余分な液体は蒸気になって外へ出ていったからです。

手順

蒸気がフラスコを満たしていたときの条件を読み取る：温度 $T$ （湯の温度を絶対温度に直す）、圧力 $P$ （大気圧）、体積 $V$ （フラスコの容積）
凝縮した液体の質量 $w$ を読み取る（冷却後の質量 − 空のフラスコの質量。はじめに入れた液体の量ではない）
$R$ の単位に合わせて $P$ ・ $V$ の単位をそろえる
$M = \frac{w R T}{P V}$ に代入して分子量を求め、指定の有効数字に丸める

例題

容積 500 mL のフラスコに揮発性の液体を少し多めに入れ、小さな穴をあけたアルミ箔でふたをして、100 ℃の湯に浸した。液体がすべて蒸発し、フラスコ内が蒸気だけで満たされたのを確かめてから取り出し、室温まで冷やすと、フラスコ内の蒸気はすべて凝縮して 1.20 g の液体になった。大気圧は $1.0 \times 1 0^{5}$ Pa である。この液体の物質の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、蒸気は理想気体とみなし、冷却後にフラスコ内に残る蒸気の質量は無視できるものとする。気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ とする。

例題の解答

手順 1（蒸気の条件）: 温度は湯の温度で $T = 100 + 273 = 373$ K、圧力は大気圧で $P = 1.0 \times 1 0^{5}$ Pa、体積はフラスコの容積で $V = 500$ mL。

手順 2（質量）: フラスコを満たしていた蒸気の質量は、凝縮した液体の質量 $w = 1.20$ g。

手順 3（単位）: $R$ の単位が Pa・L なので、 $V = 500 mL = 0.500$ L に直す。

手順 4（計算）:
$M = \frac{w R T}{P V} = \frac{1.20 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 373}{1.0 \times 1 0 ^{5} \times 0.500} = \frac{3.715 \times 1 0 ^{6}}{5.0 \times 1 0 ^{4}} \approx 74.3$
よって分子量は 74（有効数字 2 桁）。

答え: $74$

よくある誤り

質量をはかったときの室温（たとえば 27 ℃ → 300 K）を $T$ に使ってしまう誤り。正しくは、蒸気がフラスコを満たしていたときの湯の温度を使い、例題では $T = 373$ K とする。
はじめにフラスコに入れた液体の質量を $w$ にしてしまう誤り。正しくは、余分な蒸気は穴から出ていくので、冷却後に凝縮して残った液体の質量（例題では $1.20$ g）を使う。
体積を mL のまま $V = 500$ として $M = \frac{1.20 \times 8.3 \times 1 0 ^{3} \times 373}{1.0 \times 1 0 ^{5} \times 500}$ と計算してしまう誤り。正しくは $R$ の単位に合わせて $V = 0.500$ L にする。
フラスコ内の蒸気の圧力を、液体の量や温度から別に求めようとしてしまう誤り。正しくは、穴で外とつながっているので蒸気の圧力は大気圧 $P$ に等しい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
揮発性の液体の分子量を求めるために、次の実験を行った。
内容積 $415 mL$ の丸底フラスコにこの液体を少量入れ、口を小さな穴をあけたアルミニウム箔でおおった。これを $7 7^{\circ} C$ の湯にひたして液体をすべて蒸発させると、余分な蒸気と空気は穴から追い出され、フラスコ内は $7 7^{\circ} C$ 、 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ の蒸気だけで満たされた。その後、フラスコを室温まで冷やして蒸気をすべて凝縮させ、その液体の質量をはかったところ $0.83 g$ であった。
この液体の物質の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、蒸気は理想気体とみなし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ 、絶対温度は $T = t + 273$ （ $t$ はセルシウス温度）とする。また、凝縮した液体の質量は、 $7 7^{\circ} C$ でフラスコを満たしていた蒸気の質量に等しいものとする。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
常温で液体の、ある揮発性の純物質 X の分子量を、次の実験で求めた。
内容積 $200 mL$ のフラスコに X の液体を少量入れ、口を小さな穴のあいたアルミニウム箔でおおった。このフラスコを $8 7^{\circ} C$ の湯に浸して X を完全に蒸発させ、余分な X の蒸気を穴から追い出したところ、フラスコ内は $8 7^{\circ} C$ 、大気圧 $1.0 \times 1 0^{5} Pa$ の X の蒸気だけで満たされた。その後、フラスコを室温まで冷やして X をすべて液体にし、質量をはかったところ、フラスコ内の X の質量は $0.52 g$ であった。
X の分子量を有効数字 2 桁で求めよ。ただし、気体定数は $R = 8.3 \times 1 0^{3} Pa \cdot L/ (K \cdot mol)$ 、 $0^{\circ} C$ は $273 K$ とし、X の蒸気は理想気体とみなす。フラスコの内容積は温度によって変化せず、冷やしたあとにフラスコ内に残る X の蒸気の質量は無視できるものとする。