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技能一覧 › 大学化学 統計熱力学

並進の分配関数

を使って並進の分配関数（標準状態での値やモル体積あたりの値）を数値で求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  56. 円の周の長さと面積 （算数 平面図形）
  57. おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）
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  69. 置換積分 （数学III 積分法）
  70. 部分積分 （数学III 積分法）
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  74. 偏微分と全微分 （大学数学 微分積分）
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  76. 重積分の変数変換とヤコビアン （大学数学 微分積分）
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  78. ガウス積分 （大学数学 微分積分）
  79. 剰余の定理・因数定理と高次方程式 （数学II 複素数と方程式）
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  82. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  83. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  84. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  85. 比例・反比例の式とグラフ （中学数学 関数）
  86. 関数 の式と変域 （中学数学 関数）
  87. 平方完成と 2 次関数のグラフ （数学I 2次関数）
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  89. 増減表と極値 （数学II 微分法と積分法）
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  92. 第 2 次導関数とグラフの凹凸 （数学III 微分法）
  93. 増減・凹凸・漸近線とグラフ （数学III 微分法）
  94. テイラー展開 （大学数学 微分積分）
  95. 無限等比級数と無限級数 （数学III 極限）
  96. べき級数と収束半径 （大学数学 微分積分）
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  99. 三角関数の合成 （数学II 三角関数）
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  127. 静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力 （高校物理 力と運動（知識））
  128. 静止摩擦力と動摩擦力 （高校物理 力と運動）
  129. 仕事 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
  130. 運動エネルギーと仕事の関係 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
  131. 物質波（ド・ブロイ波） （高校物理 原子）
  132. 1 次元の箱の中の粒子 （大学化学 量子化学）
  133. 大気圧による力 （中学理科 天気とその変化）
  134. ボイル・シャルルの法則 （高校物理 熱と気体）
  135. 気体の状態方程式 （高校物理 熱と気体）

説明

気体分子が容器の中を飛び回る運動（並進運動）について、分子が実際に使える状態がどれだけたくさんあるかを表す数が並進の分配関数 です。この技能では を使って、体積あたりの値 や、標準状態のモル体積に対する値を数値で求めます。並進の分配関数は、気体のエントロピーや化学平衡定数を分子の性質から計算するときの出発点になります。

なぜそうしてよいのか

まず 1 次元で考えます。長さ の箱の中の粒子のエネルギー準位は （、縮退なし）なので、分配関数は です。 とおくと、実験室の大きさの容器と普通の温度では は 程度ととても小さく、 が 1 増えても指数の中身はほとんど変わりません。そこで和を積分に置き換え（ から始めても違いは無視できます）、ガウス積分 を使うと

となります。

3 次元の直方体の箱（辺 ）では、エネルギーが 方向の和 になるので、指数関数の性質 により 3 重の和が 3 つの和の積に分かれ、 が得られます。

（熱的波長とよばれる長さ）とおくと と書けます。これは「体積 の中に一辺 の小さな立方体がいくつ入るか」という意味をもち、その数が 程度と非常に大きいことが、和を積分にしてよい理由（）になっています。なお、ここではエネルギーの基準を にとっていますが、最低準位のエネルギーはきわめて小さいので、基準を最低準位にとっても値は変わりません。

手順

  1. 分子 1 個の質量 を kg 単位で求める。モル質量 （kg/mol）から

  2. を SI 単位（J, kg, K, J s）で計算する。単位は になる

  3. それを 乗して体積あたりの分配関数 （単位 ）を得る。 乗は「平方根をとってからもとの数を掛ける」と計算しやすい

  4. 必要なら体積 （ 単位）を掛けて を求める。標準状態のモル体積なら （）を使う

例題

アルゴン原子 1 個の質量を 、温度を 、ボルツマン定数を 、プランク定数を 、円周率を とする。アルゴンの体積あたりの並進の分配関数 は何 か。有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：質量はすでに原子 1 個あたり・kg 単位で与えられているので をそのまま使う。

手順 2：


よって

手順 3： 乗する。 なので

手順 4：問われているのは体積あたりの値なので、 は掛けない。有効数字 3 桁で 。

（参考： で、容器の大きさよりずっと小さく、和を積分にした近似が成り立っている。）

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること