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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$sin 2 x - 2 (sin x + cos x) = a (0 ≦ x ≦ π)$
が相異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

三角関数の合成（説明と入口の問題）
置き換えによる三角関数の最大・最小（説明と入口の問題）
三角方程式の解の個数（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$t = sin x + cos x$ とおいて、方程式を $t$ の 2 次方程式に直してみよう。

ヒント 2

$sin 2 x = t^{2} - 1$ 、 $t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ である。 $0 ≦ x ≦ π$ のとき $t$ の動く範囲と、1 つの $t$ に対応する $x$ の個数（ $t$ の値によって $0, 1, 2$ 個）を調べよう。

ヒント 3

方程式は $(t - 1)^{2} - 2 = a$ $(- 1 ≦ t ≦ 2)$ となる。 $1 ≦ t < 2$ の $t$ には $x$ が 2 個、 $- 1 ≦ t < 1$ の $t$ には $x$ が 1 個対応する。グラフ $y = (t - 1)^{2} - 2$ と直線 $y = a$ の交点の位置で場合分けしよう。

答えと解説

答えを見る

- 2 < a < 1 - 22

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解説を読む

$t = sin x + cos x$ とおく。 $t^{2} = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x$ より $sin 2 x = t^{2} - 1$ であるから、方程式は
$t^{2} - 2 t - 1 = a$
となる。

$t$ と $x$ の対応
$t = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ であり、 $u = x + \frac{π}{4}$ とおくと $0 ≦ x ≦ π$ より $\frac{π}{4} ≦ u ≦ \frac{5 π}{4}$ である。この範囲で $u$ が増加すると、 $t$ は $1$ から $2$ （ $u = \frac{π}{2}$ ）まで増加し、その後 $- 1$ （ $u = \frac{5 π}{4}$ ）まで減少する。したがって、1 つの $t$ に対応する $x$ の個数は
- $t = 2$ のとき $1$ 個
- $1 ≦ t < 2$ のとき $2$ 個（ $t = 1$ のときは $x = 0, \frac{π}{2}$ ）
- $- 1 ≦ t < 1$ のとき $1$ 個
- それ以外の $t$ では $0$ 個

である。

$t$ の方程式の解の配置
$g (t) = t^{2} - 2 t - 1 = (t - 1)^{2} - 2$ $(- 1 ≦ t ≦ 2)$ とおく。
$g (- 1) = 2, g (1) = - 2, g (2) = 2 - 22 - 1 = 1 - 22$
である。 $g (t)$ は $- 1 ≦ t ≦ 1$ で $2$ から $- 2$ まで減少し、 $1 ≦ t ≦ 2$ で $- 2$ から $1 - 22$ まで増加する。なお $1 - 22 ≒ - 1.83$ なので $- 2 < 1 - 22 < 2$ である。

直線 $y = a$ と $y = g (t)$ の共有点を調べ、 $x$ の個数を数える。
- $a = - 2$ のとき： $t = 1$ のみ。 $x$ は $2$ 個。
- $- 2 < a < 1 - 22$ のとき： $- 1 < t < 1$ に $1$ つ（ $x$ は $1$ 個）、 $1 < t < 2$ に $1$ つ（ $x$ は $2$ 個）。合計 $3$ 個。
- $a = 1 - 22$ のとき： $t = 2$ （ $x$ は $1$ 個）と $t = 2 - 2$ （ $- 1 ≦ t < 1$ なので $x$ は $1$ 個）。合計 $2$ 個。
- $1 - 22 < a ≦ 2$ のとき： $- 1 ≦ t < 1$ に $1$ つのみ。 $x$ は $1$ 個。
- $a < - 2$ または $a > 2$ のとき：解なし。

以上より、相異なる実数解がちょうど $3$ 個となる条件は
$- 2 < a < 1 - 22$

別解

$t = sin x + cos x = 2 sin (x + π /4)$ とおくと、 $sin 2 x = t^{2} - 1$ なので方程式は $t^{2} - 2 t - 1 = a$ 、すなわち $(t - 1)^{2} - 2 = a$ となる。

$0 \leq x \leq π$ のとき $t$ の範囲は $- 1 \leq t \leq 2$ である。 $x = 0$ で $t = 1$ 、 $x = π /4$ で $t = 2$ 、 $x = π$ で $t = - 1$ となる。 $t$ の値ごとの $x$ の個数は次の通り。
- $1 \leq t < 2$ のとき 2 個（ $t = 1$ のときは $x = 0, π /2$ ）
- $t = 2$ のとき 1 個
- $- 1 \leq t < 1$ のとき 1 個

$a > - 2$ のとき、 $s = a + 2 > 0$ として $t = 1 \pm s$ が解になる。
- $t = 1 + s$ は $s \leq 2 - 1$ のとき範囲内にある。 $s < 2 - 1$ なら $x$ は 2 個、 $s = 2 - 1$ なら 1 個。
- $t = 1 - s$ は $s \leq 2$ のとき範囲内にあり、このとき $- 1 \leq t < 1$ なので $x$ は 1 個。

よって合計 3 個になるのは $0 < s < 2 - 1$ のとき（ $2 + 1 = 3$ ）である。

他の場合を確認する。
- $s = 0$ （ $a = - 2$ ）では $t = 1$ の重解で、 $x$ は 2 個。
- $s = 2 - 1$ では $1 + 1 = 2$ 個。
- $s > 2 - 1$ では $t = 1 + s$ が範囲外で、多くても 1 個。

したがって $0 < a + 2 < (2 - 1)^{2} = 3 - 22$ 、すなわち $- 2 < a < 1 - 22$ 。

検算： $a = - 1.9$ とすると $s = 0.1 \approx 0.316 < 0.414$ 。 $t \approx 1.316$ に対して $x$ は 2 個、 $t \approx 0.684$ に対して $x$ は 1 個で、計 3 個になる。

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