三角関数の問題

$c=\cos \theta$ とおく。

加法定理と 2 倍角の公式より
$$\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )=\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2(1-c^2)c=4c^3-3c$$
また $\cos 2\theta =2c^2-1$ である。よって左辺は
$$2(4c^3-3c)+3(2c^2-1)-6c=8c^3+6c^2-12c-3$$
となる。$g(c)=8c^3+6c^2-12c-3$ とおく。

$0\leqq \theta \leqq \pi$ において $c=\cos \theta$ は $1$ から $-1$ まで単調に減少するので、$\theta$ と $c(-1\leqq c\leqq 1)$ は $1$ 対 $1$ に対応する。したがって、求める条件は「$g(c)=k$ が $-1\leqq c\leqq 1$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつ」ことである。

$$g^{\prime }(c)=24c^2+12c-12=12(2c^2+c-1)=12(2c-1)(c+1)$$
よって $-1\leqq c\leqq 1$ において、$g(c)$ は $-1\leqq c\leqq \frac{1}{2}$ で減少し、$\frac{1}{2}\leqq c\leqq 1$ で増加する。

値を計算すると
$$g(-1)=-8+6+12-3=7,g\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{3}{2}-6-3=-\frac{13}{2},g(1)=8+6-12-3=-1$$

$y=g(c)(-1\leqq c\leqq 1)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の個数を調べる。
- $k<-\frac{13}{2}$ のとき $0$ 個
- $k=-\frac{13}{2}$ のとき $1$ 個（$c=\frac{1}{2}$）
- $-\frac{13}{2}<k\leqq -1$ のとき、$-1<c<\frac{1}{2}$ に $1$ 個、$\frac{1}{2}<c\leqq 1$ に $1$ 個で、計 $2$ 個
- $-1<k\leqq 7$ のとき、$-1\leqq c<\frac{1}{2}$ に $1$ 個のみ
- $k>7$ のとき $0$ 個

よって求める範囲は
$$-\frac{13}{2}<k\leqq -1$$

$t=\cos \theta$ とおくと、$0\leqq \theta \leqq \pi$ と $-1\leqq t\leqq 1$ は一対一に対応する。$\cos 3\theta =4t^3-3t$、$\cos 2\theta =2t^2-1$ より、左辺は $g(t)=2(4t^3-3t)+3(2t^2-1)-6t=8t^3+6t^2-12t-3$。$g^{\prime }(t)=24t^2+12t-12=12(2t-1)(t+1)$。$-1<t<\frac{1}{2}$ で $g^{\prime }<0$、$\frac{1}{2}<t<1$ で $g^{\prime }>0$。$g(-1)=-8+6+12-3=7$、$g\left(\frac{1}{2}\right)=1+\frac{3}{2}-6-3=-\frac{13}{2}$、$g(1)=8+6-12-3=-1$。$t\in [-1,\frac{1}{2}]$ では 7 から $-\frac{13}{2}$ まで単調減少、$t\in [\frac{1}{2},1]$ では $-\frac{13}{2}$ から $-1$ まで単調増加。直線 $y=k$ との共有点の個数: $k>7$ または $k<-\frac{13}{2}$ で 0 個、$k=-\frac{13}{2}$ で 1 個、$-\frac{13}{2}<k\leqq -1$ で 2 個、$-1<k\leqq 7$ で 1 個。ちょうど 2 個になるのは $-\frac{13}{2}<k\leqq -1$。検算: $k=-1$ のとき $t=1$ ($\theta =0$) と、減少側の解がもう1つ ($g(t)=-1$ は $(t-1)(8t^2+14t+2)=0$ で $t=\frac{-7+\sqrt{33}}{8}\in (-1,\frac{1}{2})$) で計2個。