は実数で、 を満たすとする。このとき、 の値を求めよ。
3 倍角の公式
加法定理から , を導いて使える。 のような式を の 3 次式に直せる
前提
- 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式 （数学II 三角関数）
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説明
3 倍角の公式を使うと、 や を、それぞれ だけ、 だけの 3 次式で表せます。 の値がわかっているときに を求める場面で使います。また、 のような式を の 3 次式に直して、値を求めたり、最大・最小を調べたりする場面でも使います。
なぜそうしてよいのか
と分ければ、加法定理と 2 倍角の公式だけで導けます。まず について、 です。、 を代入し、さらに で を消します。
も同じように計算します。 ここで を使うと、 となります。
どちらも、2 倍角の公式の中から「残したい関数だけが残る形」を選び、 でもう一方の関数を消しているのがポイントです。この結果、 は の 3 次式 になります。したがって も という の 3 次式です。
手順
式の中の や を見つける。 の式なら だけで、 の式なら だけで表すと決める
公式で置き換える：、（忘れたら 、 から導き直す）
（または ）とおいて、 の多項式に整理する。例：
の値を代入して値を求める。最大・最小を調べるときは、 の範囲が であることに注意する
例題
のとき、 の値を求めよ。
例題の解答
手順 1： があり、条件は の値で与えられているので、 だけで表す。
手順 2： で置き換えると、 となる。
手順 3： とおくと、この式は に整理できる。
手順 4： を代入すると、 である。
答え:
よくある誤り
と で、項の順序と符号を取り違える誤り。たとえば としてしまう。正しくは 、。 を代入すると で、正しい式では となって合うので、確かめに使える
や としてしまう誤り。三角関数は角を 3 倍しても値は 3 倍にならない。正しくは のように 3 次の項が必要
を導く途中で の置き換えを忘れ、 のまま止めてしまう誤り。これでは の式にならない。正しくは を消して まで整理する
とおいたあと、 の範囲を考えずに最大・最小を求める誤り。たとえば を が実数全体を動くとして扱ってしまう。正しくは の範囲で調べる
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。