三角関数の問題

3 倍角の公式を確かめる

$3\theta =2\theta +\theta$ とみて、加法定理を使います。

$$\cos 3\theta =\cos (2\theta +\theta )=\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta$$

2 倍角の公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$, $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ を代入すると、

$$\cos 3\theta =(2{\cos }^2\theta -1)\cos \theta -2{\sin }^2\theta \cos \theta$$

さらに ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を使うと、

$$\cos 3\theta =2{\cos }^3\theta -\cos \theta -2(1-{\cos }^2\theta )\cos \theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

となります。これが 3 倍角の公式で、$\cos 3\theta$ は $\cos \theta$ だけで表せます。

値を代入する

$\cos \theta =\frac{1}{4}$ を代入します。

$$\cos 3\theta =4{\left(\frac{1}{4}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{4}=4\cdot \frac{1}{64}-\frac{3}{4}=\frac{1}{16}-\frac{12}{16}=-\frac{11}{16}$$

よって、$\cos 3\theta =-\frac{11}{16}$ です。

3倍角の公式 $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$ を用いる。$\cos \theta =\frac{1}{4}$ を代入すると、$4\cdot \frac{1}{64}-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}-\frac{12}{16}=-\frac{11}{16}$。検算：$\cos 2\theta =2\cdot \frac{1}{16}-1=-\frac{7}{8}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{15}}{4}$ より $\sin 2\theta =2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8}$。$\cos 3\theta =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta =-\frac{7}{32}-\frac{\sqrt{15}}{8}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=-\frac{7}{32}-\frac{15}{32}=-\frac{22}{32}=-\frac{11}{16}$。一致する。