三角関数の問題

3 倍角の公式を確認する

$3x=2x+x$ とみて加法定理を使うと
$$\cos 3x=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$$
となる。ここで 2 倍角の公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$, $\sin 2x=2\sin x\cos x$ を代入すると
$$\cos 3x=(2{\cos }^{2}x-1)\cos x-2{\sin }^{2}x\cos x$$
である。さらに ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ を使うと
$$\cos 3x=2{\cos }^{3}x-\cos x-2(1-{\cos }^{2}x)\cos x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$$
が得られる。これで $\cos 3x$ が $\cos x$ だけの式になった。

値を代入する

$\cos x=\frac{2}{3}$ を代入すると
$$\cos 3x=4{\left(\frac{2}{3}\right)}^3-3\cdot \frac{2}{3}=4\cdot \frac{8}{27}-2=\frac{32}{27}-\frac{54}{27}=-\frac{22}{27}$$

よって $\cos 3x=-\frac{22}{27}$ である。

$\cos 3x$ は $\cos x$ だけで表せるので、$\sin x$ の値（符号）を求める必要はない。

3倍角の公式 $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$ を用いる。$\cos x=\frac{2}{3}$ より、$4\cdot \frac{8}{27}-3\cdot \frac{2}{3}=\frac{32}{27}-2=\frac{32-54}{27}=-\frac{22}{27}$。
検算：$\cos 2x=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$、${\sin }^{2}x=\frac{5}{9}$ より $\cos 3x=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=-\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3}-2{\sin }^{2}x\cos x=-\frac{2}{27}-2\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{27}-\frac{20}{27}=-\frac{22}{27}$。一致した。