三角関数の問題

単位円を使って求める。原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円（単位円）を考え、$x$ 軸の正の部分を始線とする。角 $\theta$ の動径と単位円の交点を $\mathrm{P}(x,y)$ とすると、$\cos \theta =x$ である。

手順1：角を $0$ 以上 $2\pi$ 未満の角で表す。
$2\pi$ だけ回転すると動径はもとの位置に戻る。$2\pi =\frac{8}{4}\pi$ であるから、$2\pi$ の $2$ 倍を加えると
$$-\frac{11}{4}\pi +2\times 2\pi =-\frac{11}{4}\pi +\frac{16}{4}\pi =\frac{5}{4}\pi$$
となる。よって、角 $-\frac{11}{4}\pi$ の動径は角 $\frac{5}{4}\pi$ の動径と一致する。

手順2：単位円上の点の座標を求める。
$\frac{5}{4}\pi =\pi +\frac{\pi }{4}$ であるから、動径は第3象限にあり、$x$ 軸の負の向きから $\frac{\pi }{4}$ だけ回転した位置にある。直角二等辺三角形の辺の比 $1:1:\sqrt{2}$ より、交点 $\mathrm{P}$ の座標は
$$\mathrm{P}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
である。

手順3：$\cos$ の値を読み取る。
$\cos$ の値は点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標であるから
$$\cos \left(-\frac{11}{4}\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

余弦は偶関数なので $\cos \left(-\frac{11}{4}\pi \right)=\cos \frac{11}{4}\pi$。$\frac{11}{4}\pi =2\pi +\frac{3}{4}\pi$ より、周期 $2\pi$ を用いて $\cos \frac{11}{4}\pi =\cos \frac{3}{4}\pi$。$\cos \frac{3}{4}\pi =\cos \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。検算：$-\frac{11}{4}\pi +4\pi =\frac{5}{4}\pi$ で $\cos \frac{5}{4}\pi =-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ となり一致する。