三角関数の問題

単位円を使って、一般角の三角関数の値を求めます。

手順1：角を $0$ 以上 $2\pi$ 未満の角に直す

$$\frac{17\pi }{6}=\frac{12\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=2\pi +\frac{5\pi }{6}$$

$2\pi$ は $1$ 回転です。したがって、角 $\frac{17\pi }{6}$ の動径は、角 $\frac{5\pi }{6}$ の動径と一致します。よって
$$\cos \frac{17\pi }{6}=\cos \frac{5\pi }{6}$$
です。

手順2：単位円上の点の座標を読む

$\frac{5\pi }{6}$ は度数法で $150^{\circ }$ です。原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円（単位円）と角 $\frac{5\pi }{6}$ の動径との交点を $\mathrm{P}$ とします。$\mathrm{P}$ は第 $2$ 象限にあり、動径と $x$ 軸の負の部分とのなす角は $\frac{\pi }{6}$（$30^{\circ }$）です。

$\mathrm{P}$ から $x$ 軸に垂線をひくと、斜辺が $1$ の $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ の直角三角形ができます。辺の比は $2:1:\sqrt{3}$ なので、各辺の長さは次のようになります。

• 横の長さ：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• 縦の長さ：$\frac{1}{2}$

点 $\mathrm{P}$ は第 $2$ 象限にあるので、$x$ 座標は負です。したがって
$$\mathrm{P}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$$

手順3：$\cos$ は $x$ 座標

単位円上の点 $\mathrm{P}(x,y)$ について $\cos \theta =x$ です。よって
$$\cos \frac{17\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\frac{17\pi }{6}=2\pi +\frac{5\pi }{6}$ なので、$\cos \frac{17\pi }{6}=\cos \frac{5\pi }{6}$。$\cos \frac{5\pi }{6}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。検算：$\frac{17\pi }{6}=510^{\circ }=360^{\circ }+150^{\circ }$ で、$\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。