三角関数の問題

$\frac{7}{12}\pi$ を、値がわかっている角の和で表します。

$$\frac{7}{12}\pi =\frac{4}{12}\pi +\frac{3}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$$

cos の加法定理
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$
に $\alpha =\frac{\pi }{3}$, $\beta =\frac{\pi }{4}$ を代入します。

単位円から
$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
です。これらを代入すると
$$\cos \frac{7}{12}\pi =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

となります。

（確認）$\frac{7}{12}\pi$ は $\frac{\pi }{2}$ より大きく $\pi$ より小さい角なので、cos の値は負になるはずです。$\sqrt{2}<\sqrt{6}$ より $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<0$ となり、符号も合っています。

よって、答えは $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ です。

$\frac{7}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$ と分けて加法定理を用いる。
$\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
検算：$\frac{7}{12}\pi =105^{\circ }$ で $\cos 105^{\circ }=-\sin 15^{\circ }=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ となり一致する。数値は $(1.414-2.449)/4\approx -0.2588$ で、$\cos 105^{\circ }\approx -0.2588$ と合う。