三角関数の問題

単位円（原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円）を使います。角 $\theta$ の動径と単位円の交点を $\mathrm{P}(x,y)$ とすると、$\sin \theta =y$ です。

手順1：角を $0\leqq \theta <2\pi$ の範囲の角と $2\pi$ の整数倍に分ける。
$$\frac{13}{4}\pi =2\pi +\frac{5}{4}\pi$$
$2\pi$ だけ回ると動径はもとの位置に戻ります。そのため、$\frac{13}{4}\pi$ の動径は $\frac{5}{4}\pi$ の動径と一致します。

手順2：動径の位置を調べる。
$\frac{5}{4}\pi =\pi +\frac{\pi }{4}$ です。したがって動径は、$x$ 軸の負の向きからさらに $\frac{\pi }{4}$ 回った位置にあり、第3象限にあります。

手順3：単位円との交点の座標を求める。
角 $\frac{\pi }{4}$ の動径と単位円の交点は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ です。$\frac{5}{4}\pi$ の動径はこれと原点に関して反対向きなので、交点は
$$\mathrm{P}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
です。

手順4：$y$ 座標を読む。
$$\sin \frac{13}{4}\pi =\sin \frac{5}{4}\pi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\frac{13}{4}\pi =2\pi +\frac{5}{4}\pi$ であるから、$\sin \frac{13}{4}\pi =\sin \frac{5}{4}\pi$。さらに $\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$ より $\sin \frac{5}{4}\pi =-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。検算：$\frac{13}{4}\pi =3\pi +\frac{\pi }{4}$ とみて $\sin (3\pi +\theta )=-\sin \theta$ より $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ となり一致する。