三角関数の問題

方針　$\frac{7}{12}\pi$ を、三角関数の値がわかっている角の和で表し、余弦の加法定理を使います。

1. 角を分ける
$$\frac{7}{12}\pi =\frac{4}{12}\pi +\frac{3}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$$
と表せます。

2. 加法定理を書く
余弦の加法定理は
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$
です。$\alpha =\frac{\pi }{3}$, $\beta =\frac{\pi }{4}$ とします。

3. 値を代入する
$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ を使うと、
$$\cos \frac{7}{12}\pi =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

確認　$\frac{7}{12}\pi$ は $\frac{\pi }{2}$ と $\pi$ の間の角なので、余弦の値は負になるはずです。$\sqrt{2}<\sqrt{6}$ より $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<0$ となり、符号も合っています。

よって、答えは $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ です。

$\frac{7}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$ と分解して加法定理を用いる。

$\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

検算：$\frac{7}{12}\pi =105°$ なので $\cos 105°\approx -0.2588$。$(1.4142-2.4495)/4=-0.2588$ で一致する。