三角関数の問題

方針　$\frac{7}{12}\pi$ を、三角関数の値がわかっている角の和で表し、余弦の加法定理を使います。

手順 1：角を分ける
$$\frac{7}{12}\pi =\frac{4}{12}\pi +\frac{3}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$$

手順 2：加法定理を書く
余弦の加法定理は
$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$
です。ここに $\alpha =\frac{\pi }{3}$, $\beta =\frac{\pi }{4}$ を当てはめます。

手順 3：値を代入する
単位円より
$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
です。よって
$$\cos \frac{7}{12}\pi =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

確認　$\frac{\pi }{2}<\frac{7}{12}\pi <\pi$ なので、角は第 2 象限にあり、$\cos \frac{7}{12}\pi <0$ です。$\sqrt{2}<\sqrt{6}$ より、求めた値は負であり、符号も合っています。

答えは $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ です。

$\frac{7}{12}\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}$ と分けて加法定理を用いる。
$\cos \left(\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
検算：$\frac{7}{12}\pi =105^{\circ }$ なので値は負で、$\sqrt{2}\approx 1.414$, $\sqrt{6}\approx 2.449$ より $(1.414-2.449)/4\approx -0.2588$。これは $-\sin 15^{\circ }\approx -0.2588$ と一致する。