三角関数の問題

$0<\theta <\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$ です。したがって $\sin \frac{\theta }{2}>0$, $\cos \frac{\theta }{2}>0$ となります。

半角の公式を使います。
$${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1+\frac{7}{25}}{2}=\frac{\frac{32}{25}}{2}=\frac{16}{25}$$
$${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{\frac{18}{25}}{2}=\frac{9}{25}$$
符号はどちらも正なので、
$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{4}{5},\cos \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}$$
です。

次に加法定理を使います。
$$\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\pi }{3}$$
$$=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{10}+\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$$

よって、求める値は $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ です。

$0<\theta <\pi$ より $0<\frac{\theta }{2}<\frac{\pi }{2}$ なので、$\sin \frac{\theta }{2}>0$、$\cos \frac{\theta }{2}>0$ である。
半角の公式より ${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25}$ なので $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{3}{5}$。
${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{16}{25}$ なので $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{4}{5}$。
加法定理より
$\sin \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$。
検算：${\sin }^2\frac{\theta }{2}+{\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ で整合する。また $\frac{4+3\sqrt{3}}{10}\approx 0.92$ で、$|\sin |\le 1$ を満たす。