三角関数の問題

3 倍角の公式を確認する

$3x=2x+x$ とみて、加法定理を使います。
$$\cos 3x=\cos (2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$$
2 倍角の公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$、$\sin 2x=2\sin x\cos x$ を代入すると
$$\cos 3x=(2{\cos }^{2}x-1)\cos x-2{\sin }^{2}x\cos x$$
ここで ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ を使うと
$$\cos 3x=2{\cos }^{3}x-\cos x-2(1-{\cos }^{2}x)\cos x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$$
となります。これが 3 倍角の公式です。

値を代入する

$\cos x=\frac{2}{3}$ を代入すると
$$\cos 3x=4{\left(\frac{2}{3}\right)}^3-3\cdot \frac{2}{3}=4\cdot \frac{8}{27}-2=\frac{32}{27}-\frac{54}{27}=-\frac{22}{27}$$

よって $\cos 3x=-\frac{22}{27}$ です。

（$\cos 3x$ は $\cos x$ だけで表せるので、$\sin x$ の符号を調べる必要はありません。）

三倍角の公式 $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$ を用いる。
$\cos x=\frac{2}{3}$ を代入すると、
$4\cdot \frac{8}{27}-3\cdot \frac{2}{3}=\frac{32}{27}-2=\frac{32-54}{27}=-\frac{22}{27}$。
検算: 加法定理より $\cos 3x=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$。$\cos 2x=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$、${\sin }^{2}x=\frac{5}{9}$、$\sin 2x\sin x=2{\sin }^{2}x\cos x=2\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{20}{27}$。よって $\cos 3x=-\frac{1}{9}\cdot \frac{2}{3}-\frac{20}{27}=-\frac{2}{27}-\frac{20}{27}=-\frac{22}{27}$。一致する。