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三角関数の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学II 三角関数

$a$ , $b$ を実数とし、 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ における関数 $∣ cos 3 x + a cos x + b ∣$ の最大値を $M (a, b)$ とする。 $a$ , $b$ が実数全体を動くとき、 $M (a, b)$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

3 倍角の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$t = cos x$ とおき、3 倍角の公式で $cos 3 x + a cos x + b$ を $t$ の 3 次式にしよう。 $t$ の範囲は $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ 。 $a$ , $b$ を動かすことは、 $4 t^{3}$ から引く 1 次式を自由に選ぶことにあたる。

ヒント 2

最適なときは、 $∣ F (t) ∣$ が $t = \frac{1}{2}$ 、内部のある点 $t = c$ 、 $t = 1$ の 3 点で最大となり、符号が $+, -, +$ と交互になると予想できる。3 点での値に正の重みをかけて足し引きし、 $a$ , $b$ が消える組合せを作ろう。

ヒント 3

$4 t^{3}$ の端点を結ぶ直線の傾きは $7$ なので、 $4 t^{3} - 7 t$ の極小を与える点 $c$ は $12 c^{2} = 7$ を満たす。 $2 (1 - c) F (\frac{1}{2}) - F (c) + (2 c - 1) F (1)$ は $a$ , $b$ によらない値になる。

答えと解説

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\frac{7 21 - 27}{18}

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言い換え

$t = cos x$ とおく。 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ のとき $t$ は $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ の値をちょうど 1 回ずつとる。3 倍角の公式 $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$ より
$cos 3 x + a cos x + b = 4 t^{3} + (a - 3) t + b =: F (t)$
であり、 $M (a, b)$ は $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ における $∣ F (t) ∣$ の最大値である。 $a - 3$ , $b$ は自由に動かせるので、これは「 $4 t^{3}$ を 1 次式で近似したときの誤差の最大値をできるだけ小さくする」問題である。

鍵になる 3 点

$c = \frac{21}{6}$ とおく。 $c^{2} = \frac{7}{12}$ で、 $\frac{1}{4} < \frac{7}{12} < 1$ より $\frac{1}{2} < c < 1$ である。（ $c$ は、後で見るように最適なときに $∣ F (t) ∣$ が最大となる内部の点である。）

3 点 $t = \frac{1}{2}, c, 1$ での値を組み合わせた
$L = 2 (1 - c) F (\frac{1}{2}) - F (c) + (2 c - 1) F (1)$
を計算する。
- $b$ の係数： $2 (1 - c) - 1 + (2 c - 1) = 0$
- $(a - 3)$ の係数： $2 (1 - c) \cdot \frac{1}{2} - c + (2 c - 1) = 1 - c - c + 2 c - 1 = 0$
- $4 t^{3}$ の部分： $2 (1 - c) \cdot 4 \cdot \frac{1}{8} - 4 c^{3} + (2 c - 1) \cdot 4 = - 4 c^{3} + 7 c - 3$

よって $a$ , $b$ によらず
$L = - 4 c^{3} + 7 c - 3 = c (7 - 4 c^{2}) - 3 = c (7 - \frac{7}{3}) - 3 = \frac{14}{3} c - 3 = \frac{7 21}{9} - 3$
である。 $(721)^{2} = 1029 > 729 = 2 7^{2}$ より $L > 0$ 。

下からの評価

$2 (1 - c) > 0$ , $2 c - 1 > 0$ であり、 $∣ F (\frac{1}{2}) ∣, ∣ F (c) ∣, ∣ F (1) ∣$ はどれも $M (a, b)$ 以下だから
$L ≦ 2 (1 - c) M (a, b) + M (a, b) + (2 c - 1) M (a, b) = 2 M (a, b)$
したがって、すべての $a$ , $b$ に対して
$M (a, b) ≧ \frac{L}{2} = \frac{7 21}{18} - \frac{3}{2} = \frac{7 21 - 27}{18}$

等号が成り立つ例

$E = \frac{7 21 - 27}{18}$ とおき、 $a = - 4$ , $b = 3 + E$ とすると、 $F (t) = g (t) + E$ , $g (t) = 4 t^{3} - 7 t + 3$ である。
$g (t) = (t - 1) (4 t^{2} + 4 t - 3) = (t - 1) (2 t - 1) (2 t + 3)$
なので、 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ で $g (t) ≦ 0$ 、 $g (\frac{1}{2}) = g (1) = 0$ である。また $g^{'} (t) = 12 t^{2} - 7$ は $t = c$ で $0$ となり、 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ c$ で減少、 $c ≦ t ≦ 1$ で増加するから、最小値は
$g (c) = c (4 c^{2} - 7) + 3 = - \frac{14}{3} c + 3 = 3 - \frac{7 21}{9} = - 2 E$
よって $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ で $- 2 E ≦ g (t) ≦ 0$ 、すなわち $- E ≦ F (t) ≦ E$ であり、 $t = \frac{1}{2}$ で $F = E$ となるので $M (- 4, 3 + E) = E$ である。

以上より、 $M (a, b)$ の最小値は $\frac{7 21 - 27}{18}$ である。

別解

$t = cos x$ とおくと、 $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$ で $t$ は $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ の値を動く。 $cos 3 x = 4 t^{3} - 3 t$ より $cos 3 x + a cos x + b = 4 t^{3} + c t + b$ （ $c = a - 3$ は任意の実数）。よって $h (t) = 4 t^{3} + c t + b$ の $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ での $∣ h ∣$ の最大値 $M$ の最小値を求める。\n $f (t) = 4 t^{3}$ は $t > 0$ で下に凸。 $h (t) = f (t) - (- c t - b)$ なので、 $f$ と直線 $ℓ (t) = - c t - b$ の差の絶対値の最大値の最小化となる。\n $f$ の両端 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , $(1, 4)$ を結ぶ弦は $y = 7 t - 3$ （傾き 7）。 $ℓ$ の傾きを 7 にとり、弦と、傾き 7 の接線の中間の直線を選ぶと誤差が最小になる。接点は $12 t^{2} = 7$ より $t_{0} = \frac{7}{12} = \frac{21}{6}$ （ $\frac{1}{2} < t_{0} < 1$ を満たす）。\n $f (t_{0}) - (7 t_{0} - 3) = 4 t_{0}^{3} - 7 t_{0} + 3 = t_{0} (4 t_{0}^{2} - 7) + 3 = t_{0} (\frac{7}{3} - 7) + 3 = 3 - \frac{14}{3} t_{0} = 3 - \frac{7 21}{9}$ （ $\approx - 0.564$ ）。\n下限の証明: 任意の $b, c$ に対し、 $t = \frac{1}{2}, t_{0}, 1$ での $h$ の値を $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ とする。係数を調整して $h_{1} - h_{2} \cdot$ の組合せ $h (\frac{1}{2}) - λh (t_{0}) + μ h (1)$ を考えると $c t + b$ の部分が消えるように $λ, μ > 0$ をとれる（ $t_{0}$ は $\frac{1}{2}$ と $1$ の間にあるため）。つまり $\frac{1}{2}$ と $1$ での誤差は同符号、 $t_{0}$ での誤差は逆符号となる 3 点交代の性質があり、これより $M \geq \frac{1}{2} 3 - \frac{7 21}{9}$ が従う。\n等号は、直線が弦と接線の中点にある $ℓ (t) = 7 t - 3 - \frac{1}{2} (3 - \frac{7 21}{9})$ のとき、すなわち $c = - 7$ （ $a = - 4$ ）、 $b = 3 + \frac{1}{2} (3 - \frac{7 21}{9}) -$ のように設定したときで、 $t = \frac{1}{2}, t_{0}, 1$ で $h$ の値が $+ m, - m, + m$ となる（ $m = \frac{7 21}{18} - \frac{3}{2}$ ）。\n最小値は $\frac{1}{2} (\frac{7 21}{9} - 3) = \frac{7 21}{18} - \frac{3}{2} = \frac{7 21 - 27}{18}$ 。\n検算: $21 \approx 4.5826$ より $\frac{7 \cdot 4.5826 - 27}{18} \approx 0.2821$ 。 $a = - 4$ , $b =$ （ $h (t) = 4 t^{3} - 7 t + b$ で $h (1) = - 3 + b = m$ より $b = 3 + m$ ）のとき、 $h (1/2) = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} + b = - 3 + b = m$ ✓、 $h (t_{0}) = 4 t_{0}^{3} - 7 t_{0} + b = 3 - \frac{7 21}{9} + 3 + m - 3 + \dots$ すなわち $h (t_{0}) = (- 2 m) + (b - 3) = - 2 m + m = - m$ ✓。

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