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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$ω$ を正の実数とし、関数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) - 1$ を考える。 $0 ≦ x ≦ π$ の範囲で、次の 2 つの条件がともに成り立つとする。

$(1)$ 方程式 $f (x) = 0$ の解はちょうど $4$ 個である。

$(2)$ $f (x)$ が値 $- 3$ をとる $x$ はちょうど $1$ 個である。

このような $ω$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

三角関数の基本的な方程式・不等式（説明と入口の問題）
三角方程式の解の個数（説明と入口の問題）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$θ = ω x + \frac{π}{6}$ とおき、 $x$ が $0 ≦ x ≦ π$ を動くときの $θ$ の範囲を求めましょう。 $x$ と $θ$ は $1$ 対 $1$ に対応します。

ヒント 2

$f (x) = 0 ⟺ sin θ = \frac{1}{2}$ 、 $f (x) = - 3 ⟺ sin θ = - 1$ です。 $θ ≧ \frac{π}{6}$ にあるそれぞれの解を小さい順に書き並べ、何番目までが区間 $[\frac{π}{6}, ω π + \frac{π}{6}]$ に入ればよいかを考えましょう。

ヒント 3

条件 $(1)$ からは $\frac{17 π}{6} ≦ ω π + \frac{π}{6} < \frac{25 π}{6}$ 、条件 $(2)$ からは $\frac{3 π}{2} ≦ ω π + \frac{π}{6} < \frac{7 π}{2}$ が得られます。あとはそれぞれを $ω$ について解き、共通部分をとります。

答えと解説

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\frac{8}{3} ≦ ω < \frac{10}{3}

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解説を読む

$θ = ω x + \frac{π}{6}$ とおく。 $ω > 0$ なので、 $x$ が $0$ から $π$ まで動くと、 $θ$ は単調に増加し、 $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ ω π + \frac{π}{6}$ の範囲を動く。 $x$ と $θ$ は $1$ 対 $1$ に対応するので、 $x$ の個数を数える代わりに、この範囲にある $θ$ の個数を数えればよい。以下、 $M = ω π + \frac{π}{6}$ とおく。

条件 $(1)$ について

$f (x) = 0$ は $sin θ = \frac{1}{2}$ と同値である。 $θ ≧ \frac{π}{6}$ の範囲にある解を小さい順に並べると $θ = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{25 π}{6}, \dots$ である（ $θ = \frac{π}{6}$ は $x = 0$ に対応し、範囲に含まれる）。

解がちょうど $4$ 個となるのは、 $\frac{17 π}{6}$ までが範囲に入り、 $\frac{25 π}{6}$ が入らないときである。よって $\frac{17 π}{6} ≦ ω π + \frac{π}{6} < \frac{25 π}{6}$ となる。各辺から $\frac{π}{6}$ を引いて $π$ で割ると $\frac{16}{6} ≦ ω < \frac{24}{6}$ 、すなわち $\frac{8}{3} ≦ ω < 4 \dots (A)$ を得る。

条件 $(2)$ について

$f (x) = - 3$ は $sin θ = - 1$ と同値である。 $θ ≧ \frac{π}{6}$ の範囲にある解を小さい順に並べると $θ = \frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{2}, \dots$ である。

ちょうど $1$ 個となるのは、 $\frac{3 π}{2}$ が範囲に入り、 $\frac{7 π}{2}$ が入らないときである。よって $\frac{3 π}{2} ≦ ω π + \frac{π}{6} < \frac{7 π}{2}$ となる。各辺から $\frac{π}{6}$ を引くと $\frac{4 π}{3} ≦ ω π < \frac{10 π}{3}$ なので、 $\frac{4}{3} ≦ ω < \frac{10}{3} \dots (B)$ を得る。

まとめ

$(A)$ と $(B)$ の共通部分をとって、 $\frac{8}{3} ≦ ω < \frac{10}{3}$ が求める範囲である。

（確認） $ω = \frac{8}{3}$ のとき $M = \frac{17 π}{6}$ である。 $sin θ = \frac{1}{2}$ の解は $4$ 個あり、 $sin θ = - 1$ の解は $\frac{3 π}{2}$ の $1$ 個だけなので、条件を満たす。 $ω = \frac{10}{3}$ のとき $M = \frac{7 π}{2}$ となり、 $sin θ = - 1$ の解が $2$ 個になるので、条件を満たさない。

別解

$t = ω x + \frac{π}{6}$ とおくと、 $0 ≦ x ≦ π$ のとき $\frac{π}{6} ≦ t ≦ T$ である。ただし $T = ω π + \frac{π}{6}$ 。

(1) $f (x) = 0$ は $sin t = \frac{1}{2}$ と同値。 $t \geq \frac{π}{6}$ の解は小さい順に $\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \frac{25 π}{6}, \dots$ である。 $t = \frac{π}{6}$ は $x = 0$ に対応し、範囲に含まれる。解がちょうど4個になる条件は $\frac{17 π}{6} ≦ T < \frac{25 π}{6}$ 。

(2) $f (x) = - 3$ は $sin t = - 1$ と同値。解は $t = \frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{2}, \dots$ である。ちょうど1個になる条件は $\frac{3 π}{2} ≦ T < \frac{7 π}{2} = \frac{21 π}{6}$ 。

両方を満たす条件は $\frac{17 π}{6} ≦ ω π + \frac{π}{6} < \frac{21 π}{6}$ 。

よって $\frac{16}{6} ≦ ω < \frac{20}{6}$ 、すなわち $\frac{8}{3} ≦ ω < \frac{10}{3}$ 。

検算： $ω = \frac{8}{3}$ のとき $T = \frac{17 π}{6}$ で、解は4個、 $t = \frac{3 π}{2}$ の1個だけが $- 3$ をとる。 $ω = \frac{10}{3}$ のとき $T = \frac{21 π}{6} = \frac{7 π}{2}$ で、 $- 3$ をとる $x$ が2個になるので不適。

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