三角関数の問題

周期を求める。
$y=\sin x$ の正の周期のうち最小のものは $2\pi$ である。$f(x)=3\sin \left(\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\right)$ と変形できるので、$y=f(x)$ のグラフは $y=\sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$ 倍、$y$ 軸方向に $3$ 倍に拡大し、$x$ 軸方向に $\frac{\pi }{3}$ だけ平行移動したものである。$x$ 軸方向に $2$ 倍に拡大しているので、周期も $2$ 倍になり
$$T=2\pi ÷\frac{1}{2}=4\pi$$
である。

$x$ 軸との共有点を求める。
$f(x)=0$ となるのは $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)=0$ のときである。$u=\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}$ とおくと、$0\leqq x\leqq 4\pi$ より
$$-\frac{\pi }{6}\leqq u\leqq 2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11}{6}\pi$$
である。この範囲で $\sin u=0$ となるのは
$$u=0,\pi$$
である（$u=-\pi$ や $u=2\pi$ は範囲外）。

$u=0$ のとき $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}$ より $x=\frac{\pi }{3}$。
$u=\pi$ のとき $\frac{x}{2}=\frac{7}{6}\pi$ より $x=\frac{7}{3}\pi$。

どちらも $0\leqq x\leqq 4\pi$ を満たす。

よって、求める $x$ 座標は $x=\frac{\pi }{3},\frac{7}{3}\pi$ である。

$\sin$ の周期は $2\pi$、$\frac{x}{2}$ の係数より周期 $T=2\pi ÷\frac{1}{2}=4\pi$。

$f(x)=0$ すなわち $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)=0$ より $\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}=k\pi$($k$ は整数)、$x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$。

$0\leqq x\leqq 4\pi$ では $k=0$ で $x=\frac{\pi }{3}$、$k=1$ で $x=\frac{7\pi }{3}$。$k=-1$ では負、$k=2$ では $\frac{13\pi }{3}>4\pi$ で範囲外。

検算: $x=\frac{\pi }{3}$ で $\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=0$、$x=\frac{7\pi }{3}$ で $\frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\pi$、いずれも $\sin =0$。