三角関数の問題

$\sin \alpha$, $\cos \alpha$ を求める。
$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ より
$$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9},{\cos }^2\alpha =\frac{9}{25}$$
$\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ では $\cos \alpha <0$ なので $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$。さらに
$$\sin \alpha =\tan \alpha \cos \alpha =\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{4}{5}$$
である。

$\tan \frac{\alpha }{2}$ を求める。
$\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3}{4}\pi$ であるから、$\sin \frac{\alpha }{2}>0$, $\cos \frac{\alpha }{2}<0$ である。半角の公式より
$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{2}=\frac{1+\frac{3}{5}}{2}=\frac{4}{5},{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{5}$$
符号に注意して
$$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{2}{\sqrt{5}},\cos \frac{\alpha }{2}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$$
したがって
$$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}}=-2$$
である。

加法定理を使う。
$\tan \frac{\pi }{4}=1$ なので、正接の加法定理より
$$\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-2+1}{1-(-2)\cdot 1}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}$$

よって、求める値は $-\frac{1}{3}$ である。

$\pi <\alpha <\frac{3}{2}\pi$ で $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ より第3象限で $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$, $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$。

$\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \frac{\alpha }{2}+1}{1-\tan \frac{\alpha }{2}}$。$t=\tan \frac{\alpha }{2}$ とおくと、倍角の公式 $\tan \alpha =\frac{2t}{1-t^2}=\frac{4}{3}$ より $4(1-t^2)=6t$、$2t^2+3t-2=0$、$(2t-1)(t+2)=0$、$t=\frac{1}{2},-2$。

$\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<\frac{3\pi }{4}$ で $\tan \frac{\alpha }{2}<0$ なので $t=-2$。

$\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-2+1}{1+2}=-\frac{1}{3}$。

検算: $\tan \left(\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-\frac{1}{3}$。一致する。