三角関数の問題

$\cos \alpha$ と $\sin (\alpha +\beta )$ を求める

$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ より $\cos \alpha >0$ なので
$$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$$
である。

また $0<\alpha +\beta <\pi$ より $\sin (\alpha +\beta )>0$ なので
$$\sin (\alpha +\beta )=\sqrt{1-{\left(-\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$$
である。

$\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ として加法定理を使う

$$\cos \beta =\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha +\sin (\alpha +\beta )\sin \alpha =-\frac{5}{13}\cdot \frac{4}{5}+\frac{12}{13}\cdot \frac{3}{5}=\frac{-20+36}{65}=\frac{16}{65}$$

半角の公式を使う

$${\tan }^2\frac{\beta }{2}=\frac{1-\cos \beta }{1+\cos \beta }=\frac{1-\frac{16}{65}}{1+\frac{16}{65}}=\frac{49}{81}$$

$0<\frac{\beta }{2}<\frac{\pi }{4}$ より $\tan \frac{\beta }{2}>0$ なので
$$\tan \frac{\beta }{2}=\frac{7}{9}$$
となる。

別の確かめ方

$\sin \beta =\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha =\frac{48}{65}+\frac{15}{65}=\frac{63}{65}$ である。

$\tan \frac{\beta }{2}=\frac{\sin \beta }{1+\cos \beta }$ を使うと
$$\tan \frac{\beta }{2}=\frac{\frac{63}{65}}{\frac{81}{65}}=\frac{63}{81}=\frac{7}{9}$$
となり、同じ値が得られる。

なお $\cos \beta =\frac{16}{65}>0$ であり、$\beta$ が鋭角であることとも矛盾しない。

答え: $\frac{7}{9}$

$0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ より $\cos \alpha =\frac{4}{5}$。また $0<\alpha +\beta <\pi$ で $\cos (\alpha +\beta )=-\frac{5}{13}$ だから $\sin (\alpha +\beta )=\frac{12}{13}$。

$\beta =(\alpha +\beta )-\alpha$ として加法定理を使う。
$\cos \beta =\cos (\alpha +\beta )\cos \alpha +\sin (\alpha +\beta )\sin \alpha =-\frac{5}{13}\cdot \frac{4}{5}+\frac{12}{13}\cdot \frac{3}{5}=\frac{16}{65}$。
$\sin \beta =\sin (\alpha +\beta )\cos \alpha -\cos (\alpha +\beta )\sin \alpha =\frac{12}{13}\cdot \frac{4}{5}+\frac{5}{13}\cdot \frac{3}{5}=\frac{63}{65}$。

よって $\tan \frac{\beta }{2}=\frac{\sin \beta }{1+\cos \beta }=\frac{63/65}{81/65}=\frac{7}{9}$。

検算：${\tan }^2\frac{\beta }{2}=\frac{1-\cos \beta }{1+\cos \beta }=\frac{49}{81}$ で、$0<\frac{\beta }{2}<\frac{\pi }{4}$ なので正の値 $\frac{7}{9}$ となり一致する。また ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =\frac{3969+256}{4225}=1$ も成り立つ。