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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$x$ は $0 ≦ x < 2 π$ かつ $x \neq = π$ を満たす実数とする。不等式
$2 sin x - 2 cos x - 1 ≧ tan \frac{x}{2}$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）
三角関数の基本的な方程式・不等式（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$tan \frac{x}{2}$ が含まれているので、 $t = tan \frac{x}{2}$ とおき、 $sin x$ と $cos x$ を $t$ で表して、 $t$ の不等式に直しましょう。

ヒント 2

$u = \frac{x}{2}$ とおくと、2 倍角の公式と $cos^{2} u = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ から $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ 、 $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ が得られます。

ヒント 3

(左辺) $-$ (右辺) を通分すると $\frac{- t ^{3} + t ^{2} + 3 t - 3}{1 + t ^{2}} = \frac{- ( t - 1 ) ( t ^{2} - 3 )}{1 + t ^{2}}$ になります。 $(t - 1) (t - 3) (t + 3) ≦ 0$ を解いたあと、 $\frac{x}{2}$ の範囲 $0 ≦ \frac{x}{2} < π$ 、 $\frac{x}{2} \neq = \frac{π}{2}$ に注意して $x$ に戻しましょう。

答えと解説

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\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2}{3} π, π < x ≦ \frac{4}{3} π

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解説を読む

$u = \frac{x}{2}$ とおくと、 $0 ≦ u < π$ 、 $u \neq = \frac{π}{2}$ である。したがって $cos u \neq = 0$ となり、 $t = tan u = tan \frac{x}{2}$ が定まる。

$sin x, cos x$ を $t$ で表す

$1 + tan^{2} u = \frac{1}{cos ^{2} u}$ より $cos^{2} u = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ である。2 倍角の公式から
$sin x = 2 sin u cos u = 2 tan u cos^{2} u = \frac{2 t}{1 + t ^{2}},$
$cos x = 2 cos^{2} u - 1 = \frac{2}{1 + t ^{2}} - 1 = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} .$

不等式を $t$ の式に直す

$2 sin x - 2 cos x - 1 - tan \frac{x}{2} = \frac{4 t - 2 ( 1 - t ^{2} ) - ( 1 + t ^{2} ) - t ( 1 + t ^{2} )}{1 + t ^{2}}$
分子を整理すると
$4 t - 2 + 2 t^{2} - 1 - t^{2} - t - t^{3} = - t^{3} + t^{2} + 3 t - 3$
となる。さらに
$- t^{3} + t^{2} + 3 t - 3 = - {t^{2} (t - 1) - 3 (t - 1)} = - (t - 1) (t^{2} - 3)$
と因数分解できる。 $1 + t^{2} > 0$ なので、与えられた不等式は
$(t - 1) (t - 3) (t + 3) ≦ 0$
と同値である。

$t$ の範囲を求める

3 つの根は $- 3, 1, 3$ である。左辺の符号を調べると
$t ≦ - 3 または 1 ≦ t ≦ 3$
となる。

$u$ の範囲に戻す

$t = tan u$ は次のように変化する。
- $0 ≦ u < \frac{π}{2}$ では、 $0$ から $+ \infty$ へ単調に増加する。
- $\frac{π}{2} < u < π$ では、 $- \infty$ から $0$ へ単調に増加する。

よって次がわかる。
- $1 ≦ t ≦ 3$ $(t > 0)$ となるのは $\frac{π}{4} ≦ u ≦ \frac{π}{3}$ のときである。
- $t ≦ - 3$ となるのは $\frac{π}{2} < u ≦ \frac{2}{3} π$ のときである。

$x = 2 u$ に戻す

$\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2}{3} π, π < x ≦ \frac{4}{3} π$

端点の確認
- $x = \frac{π}{2}$ のとき、左辺 $= 2 - 0 - 1 = 1$ 、右辺 $= tan \frac{π}{4} = 1$ で等号が成り立つ。
- $x = \frac{2}{3} π$ のとき、左辺 $= 3 + 1 - 1 = 3$ 、右辺 $= tan \frac{π}{3} = 3$ で等号が成り立つ。
- $x = \frac{4}{3} π$ のとき、左辺 $= - 3 + 1 - 1 = - 3$ 、右辺 $= tan \frac{2}{3} π = - 3$ で等号が成り立つ。

以上より、求める範囲は $\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2}{3} π, π < x ≦ \frac{4}{3} π$ である。

別解

$t = tan \frac{x}{2}$ とおく。 $0 ≦ x < 2 π, x \neq = π$ より $\frac{x}{2} \in [0, π)$ かつ $\frac{x}{2} \neq = \frac{π}{2}$ なので、 $t$ はすべての実数をとる。

$sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ を代入すると
$\frac{4 t - 2 ( 1 - t ^{2} )}{1 + t ^{2}} - 1 ≧ t .$
$1 + t^{2} > 0$ なので両辺に掛けて整理すると
$t^{2} + 4 t - 3 ≧ t + t^{3} ⟺ t^{3} - t^{2} - 3 t + 3 ≦ 0 ⟺ (t - 1) (t^{2} - 3) ≦ 0.$
よって $(t + 3) (t - 1) (t - 3) ≦ 0$ となり、 $t ≦ - 3$ または $1 ≦ t ≦ 3$ 。

(i) $1 ≦ t ≦ 3$ ： $\frac{x}{2} \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ より $\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2 π}{3}$ 。

(ii) $t ≦ - 3$ ： $\frac{x}{2} \in (\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ より $π < x ≦ \frac{4 π}{3}$ 。

検算： $x = \frac{π}{2}$ では左辺 $= 2 - 0 - 1 = 1$ 、右辺 $= tan \frac{π}{4} = 1$ で等号が成立する。 $x = \frac{4 π}{3}$ では左辺 $= - 3 + 1 - 1 = - 3$ 、右辺 $= tan \frac{2 π}{3} = - 3$ で等号が成立する。

答え： $\frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{2 π}{3}, π < x ≦ \frac{4 π}{3}$

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