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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$k$ を実数の定数とする。 $x$ の方程式
$3 sin 2 x - cos 2 x + 23 sin x + 2 cos x = k$
が $0 ≦ x < 2 π$ の範囲にちょうど $4$ 個の解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

三角関数の合成（説明と入口の問題）
置き換えによる三角関数の最大・最小（説明と入口の問題）
三角方程式の解の個数（説明と入口の問題）
$sin^{2} x$ , $sin x cos x$ , $cos^{2} x$ の式の変形（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$3 sin x + cos x = t$ とおき、方程式全体を $t$ だけの式に直すことを考えよう。 $t$ のとりうる範囲は合成で求められる。

ヒント 2

$t^{2}$ を展開して半角・倍角の公式を使うと、 $3 sin 2 x - cos 2 x = t^{2} - 2$ が得られる。また、 $t = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ の 1 つの値に対応する $x$ は、 $- 2 < t < 2$ なら $2$ 個、 $t = \pm 2$ なら $1$ 個である。

ヒント 3

方程式は $t^{2} + 2 t - 2 = k$ （ $- 2 ≦ t ≦ 2$ ）となる。 $y = (t + 1)^{2} - 3$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点を考え、 $t$ が $- 2 < t < 2$ の範囲に $2$ つあるような $k$ を探そう。

答えと解説

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(- 3, - 2)

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解説を読む

$t = 3 sin x + cos x$ とおく。

$t$ の範囲 三角関数の合成により
$t = 2 sin (x + \frac{π}{6})$
である。 $0 ≦ x < 2 π$ のとき $\frac{π}{6} ≦ x + \frac{π}{6} < \frac{13 π}{6}$ なので、 $- 2 ≦ t ≦ 2$ である。

左辺を $t$ で表す
$t^{2} = 3 sin^{2} x + 23 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + 2 sin^{2} x + 3 sin 2 x$
ここで $2 sin^{2} x = 1 - cos 2 x$ より
$t^{2} = 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x$
よって $3 sin 2 x - cos 2 x = t^{2} - 2$ であり、方程式は
$t^{2} + 2 t - 2 = k$
となる。

$t$ の値 1 つに対応する $x$ の個数 $θ = x + \frac{π}{6}$ は $\frac{π}{6} ≦ θ < \frac{13 π}{6}$ （ちょうど 1 周分）を動く。よって $sin θ = \frac{t}{2}$ を満たす $x$ の個数は次のとおりである。
- $- 2 < t < 2$ のとき $2$ 個
- $t = \pm 2$ のとき $1$ 個

また、異なる $t$ の値に対応する $x$ は重ならない。

$g (t) = k$ の解の様子 $g (t) = t^{2} + 2 t - 2 = (t + 1)^{2} - 3$ とおく（ $- 2 ≦ t ≦ 2$ ）。 $g (t)$ は $- 2 ≦ t ≦ - 1$ で減少し、 $- 1 ≦ t ≦ 2$ で増加する。端と頂点の値は $g (- 2) = - 2$ 、 $g (- 1) = - 3$ 、 $g (2) = 6$ である。

直線 $y = k$ と曲線 $y = g (t)$ の共有点を調べると、次のようになる。
- $k < - 3$ または $k > 6$ ： $t$ はなく、解は $0$ 個
- $k = - 3$ ： $t = - 1$ のみで、解は $2$ 個
- $- 3 < k < - 2$ ： $t = - 1 \pm k + 3$ である。 $0 < k + 3 < 1$ より、 $t$ は $(- 2, - 1)$ と $(- 1, 0)$ に $1$ つずつあり、どちらも $- 2 < t < 2$ を満たす。よって解は $2 + 2 = 4$ 個
- $k = - 2$ ： $t = - 2, 0$ で、解は $1 + 2 = 3$ 個
- $- 2 < k < 6$ ： $t$ は $0 < t < 2$ に $1$ つで、解は $2$ 個
- $k = 6$ ： $t = 2$ で、解は $1$ 個

したがって、解がちょうど $4$ 個となる $k$ の値の範囲は
$- 3 < k < - 2$
である。

別解

合成すると $3 sin 2 x - cos 2 x = 2 sin (2 x - π /6)$ 、 $23 sin x + 2 cos x = 4 sin (x + π /6)$ である。
$t = x + π /6$ とおくと $2 x - π /6 = 2 t - π /2$ なので $sin (2 x - π /6) = - cos 2 t$ となる。
よって左辺は $- 2 cos 2 t + 4 sin t = 4 sin^{2} t + 4 sin t - 2$ である。
$s = sin t$ とおくと左辺は $g (s) = 4 s^{2} + 4 s - 2 = 4 (s + \frac{1}{2})^{2} - 3$ で、 $- 1 \leq s \leq 1$ である。
$x$ が $0 \leq x < 2 π$ を動くと $t$ は $π /6 \leq t < 2 π + π /6$ を動き、ちょうど 1 周する。
そのため、 $s = \pm 1$ のときは解 $t$ が 1 個、 $- 1 < s < 1$ のときは 2 個である。

$g (- 1) = - 2$ 、 $g (- 1/2) = - 3$ 、 $g (1) = 6$ である。 $g (s) = k$ の解は $s = - \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} k + 3$ である。

$k < - 3$ : 解なし。
$k = - 3$ : $s = - 1/2$ のみで、 $x$ は 2 個。
$- 3 < k < - 2$ : $k + 3 < 1$ なので 2 つの $s$ はともに $(- 1, 0)$ にあり、 $x$ は $2 + 2 = 4$ 個。
$k = - 2$ : $s = - 1$ と $s = 0$ で、 $x$ は $1 + 2 = 3$ 個。
$- 2 < k < 6$ : 小さい方の $s$ は $- 1$ 未満で不適、大きい方は $(0, 1)$ にあり、 $x$ は 2 個。
$k = 6$ : $s = 1$ のみで、 $x$ は 1 個。

確認: $k = - 2.5$ のとき $s = - 1/2 \pm 0.5 /2$ で、 $s \approx - 0.146, - 0.854$ はともに $(- 1, 1)$ にあり、 $x$ は 4 個となる。

したがって求める範囲は $- 3 < k < - 2$ である。

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