三角関数の問題

手順1：置き換える

三角関数の合成により
$$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$$
である。そこで $t=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ とおくと、方程式は
$$t^2-2t=k(1)$$
となる。

手順2：$t$ のとりうる範囲と、$t$ 1 つに対応する $x$ の個数

$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{3}\leqq x+\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{3}$ であり、これはちょうど 1 周期分である。よって $-2\leqq t\leqq 2$ で、
- $-2<t<2$ のとき、$t$ の値 1 つに対して $x$ は $2$ 個
- $t=2$ または $t=-2$ のとき、$t$ の値 1 つに対して $x$ は $1$ 個

対応する。

手順3：曲線と直線の共有点を調べる

$f(t)=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$ とおく。$y=f(t)$ $(-2\leqq t\leqq 2)$ のグラフは頂点 $(1,-1)$ の下に凸の放物線の一部で、端の値は $f(-2)=8$, $f(2)=0$ である。方程式 $(1)$ の解は、このグラフと直線 $y=k$ の共有点の $t$ 座標である。

$x$ の解がちょうど $4$ 個になるのは、$-2<t<2$ の範囲に $t$ の解が $2$ 個あるときである（$t=\pm 2$ からは $1$ 個ずつしか得られず、$-2<t<2$ の解 $1$ 個だけでは $2$ 個にしかならない）。

グラフより、直線 $y=k$ が $-2<t<2$ の部分と異なる $2$ 点で交わるのは、頂点の $y$ 座標 $-1$ より上で、端 $t=2$ での値 $0$ より下のときであるから
$$-1<k<0$$
このとき $t$ の解は $0<t<1$, $1<t<2$ に $1$ 個ずつあり、それぞれから $x$ が $2$ 個ずつ、合計 $4$ 個得られる。

（参考：$k=-1$ なら $t=1$ のみで $2$ 個、$k=0$ なら $t=0,2$ で $2+1=3$ 個、$0<k<8$ なら $-2<t<0$ の $1$ 個のみで $2$ 個、$k=8$ なら $t=-2$ で $1$ 個となる。）

よって、求める範囲は $-1<k<0$ である。

$t=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ とおく。$\theta =x+\frac{\pi }{3}$ とすると、$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{3}\leqq \theta <\frac{7\pi }{3}$ であり、$-2\leqq t\leqq 2$ となる。

$t$ の値と $x$ の個数の対応を調べる。
- $t=2$ のとき、$\theta =\frac{\pi }{2}$ の 1 個のみ。
- $t=-2$ のとき、$\theta =\frac{3\pi }{2}$ の 1 個のみ。
- $-2<t<2$ のとき、$\theta$ の範囲は長さ $2\pi$ の半開区間なので 2 個。$t=\sqrt{3}$ のときも $\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$ の 2 個で同じである。

方程式は $t^2-2t=k$、すなわち $(t-1{)}^2-1=k$ となる。

$x$ の解がちょうど 4 個になるのは、$-2<t<2$ に異なる 2 つの解 $t$ をもつときである。
- 一方が $t=\pm 2$ なら、$x$ の個数は $1+2=3$ 個。
- 両方が $\pm 2$ のとき、$f(2)=0$、$f(-2)=8$ で値が異なるので起こらない。
- 重解 ($k=-1$, $t=1$) のとき、$x$ は 2 個。

$k>-1$ のとき、解は $t=1\pm \sqrt{k+1}$ である。両方が $-2<t<2$ に入る条件を調べる。
- $1+\sqrt{k+1}<2$ より $k<0$。
- $1-\sqrt{k+1}>-2$ より $k<8$。

よって $-1<k<0$。

検算：$k=-0.5$ のとき $t=1\pm \sqrt{0.5}\approx 1.707,0.293$ で、どちらも $(-2,2)$ に入り、$x$ は 4 個になる。