三角関数の問題

$t=\sin x+\cos x$ とおく。合成すると
$$t=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$
である。$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{4}\leqq x+\frac{\pi }{4}<\frac{9\pi }{4}$ で、これはちょうど $1$ 周期分の区間である。よって $t$ の値域は $-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ である。

$t$ と $x$ の対応　$y=\sin \theta$ のグラフを $1$ 周期分考えると、$t$ の値 $1$ つに対応する $x$ の個数は次のようになる。
- $-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ のとき $2$ 個
- $t=\pm \sqrt{2}$ のとき $1$ 個

方程式の書き換え　$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+\sin 2x$ より $\sin 2x=t^2-1$ である。よって方程式は
$$t^2-2t-1=a$$
となる。$g(t)=t^2-2t-1=(t-1{)}^2-2$ とおき、$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$ における $y=g(t)$ のグラフと直線 $y=a$ の共有点を調べる。

グラフの様子
- 頂点は $(1,-2)$ で、$1$ は区間 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ の内部にある。
- 左端の値は $g(-\sqrt{2})=2+2\sqrt{2}-1=1+2\sqrt{2}$ である。
- 右端の値は $g(\sqrt{2})=2-2\sqrt{2}-1=1-2\sqrt{2}$ である。
- $1-2\sqrt{2}\approx -1.83>-2$ なので、$-2<1-2\sqrt{2}<1+2\sqrt{2}$ である。

$a$ による場合分け
- $a<-2$ または $a>1+2\sqrt{2}$：共有点はなく、解は $0$ 個。
- $a=-2$：$t=1$ のみ。$-\sqrt{2}<1<\sqrt{2}$ なので、解は $2$ 個。
- $-2<a<1-2\sqrt{2}$：$t=1\pm \sqrt{a+2}$ である。$0<a+2<3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2$ より $0<\sqrt{a+2}<\sqrt{2}-1$ となる。よって $2-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ の範囲に異なる $2$ つの $t$ があり、どちらも端点ではない。解は $2\times 2=4$ 個。
- $a=1-2\sqrt{2}$：$t=\sqrt{2}$（$x$ は $1$ 個）と $t=2-\sqrt{2}$（$x$ は $2$ 個）で、解は $3$ 個。
- $1-2\sqrt{2}<a<1+2\sqrt{2}$：区間内の $t$ は $t=1-\sqrt{a+2}$ のみで、$-\sqrt{2}<t<2-\sqrt{2}$ を満たす。解は $2$ 個。
- $a=1+2\sqrt{2}$：$t=-\sqrt{2}$ のみで、解は $1$ 個。

以上より、解がちょうど $4$ 個となるのは
$$-2<a<1-2\sqrt{2}$$
のときである。

$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ とおくと $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$。また $\sin 2x=t^2-1$ なので、方程式は $t^2-2t-1=a$、すなわち $a=(t-1{)}^2-2$ となる。

$0\le x<2\pi$ のとき $x+\frac{\pi }{4}$ は $[\frac{\pi }{4},\frac{9\pi }{4})$ を動く。このとき、$-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ の各 $t$ に対して $x$ はちょうど 2 個、$t=\pm \sqrt{2}$ に対して $x$ はちょうど 1 個ずつ ($x=\pi /4,5\pi /4$) 対応する。

よって $x$ の解が 4 個になるのは、$-\sqrt{2}<t<\sqrt{2}$ の範囲に異なる $t$ の解がちょうど 2 個あるときである。
- 区間内の解が 1 個だけなら、$x$ は 2 個または (端点の解も含めて) 3 個。
- 端点の解が 2 個のときは $x$ が 2 個で、4 個にならない。

$t=1\pm \sqrt{a+2}$ (異なる 2 解となるのは $a>-2$)。
- $1-\sqrt{a+2}>-\sqrt{2}$ より $a<1+2\sqrt{2}$。
- $1+\sqrt{a+2}<\sqrt{2}$ より $\sqrt{a+2}<\sqrt{2}-1$、すなわち $a+2<3-2\sqrt{2}$ で $a<1-2\sqrt{2}$。

したがって $-2<a<1-2\sqrt{2}$。

検算: $a=1-2\sqrt{2}$ のとき、$t=\sqrt{2}$ と $t=2-\sqrt{2}$ が解で、$x$ は $1+2=3$ 個となり不適。$a=-2$ のとき $t=1$ のみで $x$ は 2 個となり不適。$-2<a<1-2\sqrt{2}$ の例として $a=-1.9$ なら、$t=1\pm \sqrt{0.1}\approx 0.684,1.316$ で、ともに $\sqrt{2}\approx 1.414$ 未満なので 4 個。