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三角関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 三角関数

$a$ を実数の定数とする。 $θ$ についての方程式
$cos 2 θ - 3 sin 2 θ + 2 sin θ - 23 cos θ = a$
が $0 ≦ θ < 2 π$ の範囲にちょうど $4$ 個の解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

三角関数の合成（説明と入口の問題）
置き換えによる三角関数の最大・最小（説明と入口の問題）
三角方程式の解の個数（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$sin θ - 3 cos θ = t$ とおき、方程式全体を $t$ だけで表すことを考えよう。

ヒント 2

$t^{2}$ を計算して、 $cos 2 θ - 3 sin 2 θ$ を $t$ で表そう。また合成により $t = 2 sin (θ - \frac{π}{3})$ となるので、 $t$ の値 $1$ つに対応する $θ$ の個数を、 $∣ t ∣ < 2$ と $t = \pm 2$ に分けて調べよう。

ヒント 3

方程式は $t^{2} + 2 t - 2 = a$ 、すなわち $(t + 1)^{2} - 3 = a$ ( $- 2 ≦ t ≦ 2$ )となる。 $θ$ が $4$ 個になるには、 $- 2 < t < 2$ の範囲に異なる $t$ が $2$ つ必要である。放物線 $y = (t + 1)^{2} - 3$ と直線 $y = a$ の交点を調べよう。

答えと解説

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- 3 < a < - 2

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置き換え

$t = sin θ - 3 cos θ$ とおく。三角関数の合成により
$t = 2 (\frac{1}{2} sin θ - \frac{3}{2} cos θ) = 2 sin (θ - \frac{π}{3})$
である。

両辺を $2$ 乗すると
$t^{2} = sin^{2} θ + 3 cos^{2} θ - 23 sin θ cos θ = 1 + 2 cos^{2} θ - 3 sin 2 θ$
となる。 $2 cos^{2} θ = 1 + cos 2 θ$ を用いると
$t^{2} = 2 + cos 2 θ - 3 sin 2 θ$
なので、 $cos 2 θ - 3 sin 2 θ = t^{2} - 2$ である。

また $2 sin θ - 23 cos θ = 2 t$ だから、方程式は
$t^{2} + 2 t - 2 = a$
となる。

$t$ と $θ$ の対応

$0 ≦ θ < 2 π$ のとき $- \frac{π}{3} ≦ θ - \frac{π}{3} < \frac{5 π}{3}$ であり、これはちょうど $1$ 周期分である。よって $t$ の値と $θ$ の個数は次のように対応する。
- $- 2 < t < 2$ のとき、 $θ$ は $2$ 個
- $t = \pm 2$ のとき、 $θ$ は $1$ 個
- $∣ t ∣ > 2$ のとき、 $θ$ は $0$ 個

$t$ の方程式の解の配置

$g (t) = t^{2} + 2 t - 2 = (t + 1)^{2} - 3$ とおく。 $- 2 ≦ t ≦ 2$ における値は
$g (- 2) = - 2, g (- 1) = - 3, g (2) = 6$
である。 $g (t) = a$ の解は、 $a ≧ - 3$ のとき $t = - 1 \pm a + 3$ となる。 $a$ の値で場合分けする。
- $a < - 3$ のとき:実数解 $t$ がないので、 $θ$ は $0$ 個。
- $a = - 3$ のとき: $t = - 1$ のみなので、 $θ$ は $2$ 個。
- $- 3 < a < - 2$ のとき: $0 < a + 3 < 1$ より、 $t = - 1 - a + 3 \in (- 2, - 1)$ と $t = - 1 + a + 3 \in (- 1, 0)$ の異なる $2$ つが $- 2 < t < 2$ にある。よって $θ$ は $2 + 2 = 4$ 個。
- $a = - 2$ のとき: $t = - 2, 0$ なので、 $θ$ は $1 + 2 = 3$ 個。
- $- 2 < a < 6$ のとき: $1 < a + 3 < 3$ より、 $- 1 - a + 3 < - 2$ は範囲外となる。 $- 1 + a + 3 \in (0, 2)$ だけが範囲内なので、 $θ$ は $2$ 個。
- $a = 6$ のとき:範囲内の解は $t = 2$ のみなので、 $θ$ は $1$ 個。
- $a > 6$ のとき:範囲内の解がないので、 $θ$ は $0$ 個。

以上より、解がちょうど $4$ 個となるのは
$- 3 < a < - 2$
のときである。

別解

$cos 2 θ - 3 sin 2 θ = 2 cos (2 θ + π /3)$ 、 $2 sin θ - 23 cos θ = 4 sin (θ - π /3)$ である。 $φ = θ - π /3$ とおくと $2 θ + π /3 = 2 φ + π$ なので、 $cos (2 θ + π /3) = - cos 2 φ$ となる。
左辺は $- 2 cos 2 φ + 4 sin φ = - 2 (1 - 2 sin^{2} φ) + 4 sin φ = 4 s^{2} + 4 s - 2$ （ $s = sin φ$ ）。
$θ$ が $0 \leq θ < 2 π$ を動くと $φ$ も長さ $2 π$ の範囲を動くので、 $φ$ の個数を数えればよい。 $- 1 < s < 1$ なら $s$ の1値につき $φ$ は2個、 $s = \pm 1$ なら1個、 $∣ s ∣ > 1$ なら0個。
$f (s) = 4 s^{2} + 4 s - 2 = 4 (s + 1/2)^{2} - 3$ 、 $- 1 \leq s \leq 1$ で $f (- 1) = - 2$ 、 $f (- 1/2) = - 3$ 、 $f (0) = - 2$ 、 $f (1) = 6$ 。
- $a = - 3$ : $s = - 1/2$ のみで解は2個。
- $- 3 < a < - 2$ : $s$ は $(- 1, 0)$ に異なる2つの解をもち、解は $2 \times 2 = 4$ 個。
- $a = - 2$ : $s = - 1$ （1個）と $s = 0$ （2個）で計3個。
- $- 2 < a < 6$ : $(- 1, 1)$ の解は1つだけで2個。
- $a = 6$ : $s = 1$ のみで1個。
- その他は解が0個。
したがってちょうど4個となるのは $- 3 < a < - 2$ 。
検算: $a = - 2.5$ のとき $4 s^{2} + 4 s + 0.5 = 0$ より $s = (- 1 \pm 0.5) /2 \approx - 0.146, - 0.854$ 、ともに $(- 1, 1)$ 内なので4個。

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