三角関数の問題

手順1：置き換える。
三角関数の合成により
$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$$
である。そこで $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ とおくと、方程式は
$$t^2-2t=k$$
となる。

手順2：$t$ の範囲と、$t$ の値 1 つに対応する $x$ の個数を調べる。
$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{6}\leqq x+\frac{\pi }{6}<\frac{13}{6}\pi$ で、$x+\frac{\pi }{6}$ はちょうど 1 周する。よって $-1\leqq \sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\leqq 1$ より $-2\leqq t\leqq 2$ である。
$t$ の値 1 つに対応する $x$ の個数は、単位円で考えると
- $-2<t<2$ のとき $2$ 個
- $t=2$ または $t=-2$ のとき $1$ 個

である。また、$t$ は $x$ によって 1 つに決まるので、異なる $t$ に対応する $x$ は異なる。

手順3：$t$ の方程式をグラフで調べる。
$f(t)=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$ とおく。$-2\leqq t\leqq 2$ における $y=f(t)$ のグラフは、頂点 $(1,-1)$ の下に凸な放物線の一部で、端点は $f(-2)=8$, $f(2)=0$ である。
方程式 $f(t)=k$ の実数解は、曲線 $y=f(t)(-2\leqq t\leqq 2)$ と直線 $y=k$ の共有点の $t$ 座標である。

$x$ の解が $4$ 個になるのは、$-2<t<2$ の範囲に $t$ の解が $2$ 個ある場合に限られる（$t$ の解は高々 $2$ 個で、$t=\pm 2$ を含むと $x$ は $4$ 個に届かない）。
グラフより、直線 $y=k$ が $-2<t<2$ の部分と 2 点で交わるのは $-1<k<0$ のときである。このとき $t=1\pm \sqrt{1+k}$ はともに $0<t<2$ にあり、$x$ の解は $2+2=4$ 個となる。

（参考：$k=0$ のときは $t=0,2$ で $x$ は $2+1=3$ 個、$k=-1$ のときは $t=1$ のみで $2$ 個、$0<k<8$ のときは $-2<t<0$ に 1 個で $2$ 個となる。）

よって、求める $k$ の値の範囲は
$$-1<k<0$$

$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ とおく。

$0\leqq x<2\pi$ のとき $\theta =x+\frac{\pi }{6}$ は $\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{13\pi }{6}$ で、ちょうど 1 周期分である。

したがって $t$ の値と $x$ の個数の対応は次のとおり。
- $-2<t<2$ のとき、$x$ は 2 個。
- $t=\pm 2$ のとき、$x$ は 1 個。
- $|t|>2$ のとき、$x$ は 0 個。

方程式は $f(t)=t^2-2t=k$ となる。$f(t)=(t-1{)}^2-1$ であり、$f(-2)=8$、$f(2)=0$ である。

$x$ が 4 個になるのは、$-2<t<2$ に異なる 2 つの $t$ の解をもつときだけである。
- $t=\pm 2$ を解にもつ場合は $x$ が 1 個ずつしか対応せず、4 個にならない。
- $-2<t<2$ に解が 1 つだけなら $x$ は 2 個以下になる。

放物線 $y=f(t)$ と直線 $y=k$ が、$-2<t<2$ で異なる 2 点で交わる条件は、頂点が $(1,-1)$ であることと端点の値から
$$-1<k<0$$
である。

検算:
- $k=0$ のとき $t=0,2$ で、$x$ は $2+1=3$ 個。
- $k=-1$ のとき $t=1$(重解)で、$x$ は 2 個。
- $k=-\frac{1}{2}$ のとき $t=1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で、どちらも $(-2,2)$ に入り、$x$ は 4 個。
- $0<k<8$ のとき、$t=1+\sqrt{1+k}>2$ は不適で、$t=1-\sqrt{1+k}\in (-2,1)$ だけが適するので $x$ は 2 個。

よって $-1<k<0$。