三角関数の問題

式の変形

$3\theta =2\theta +\theta$、$\theta =2\theta -\theta$ とみて加法定理を使うと
$$\sin 3\theta +\sin \theta =\sin (2\theta +\theta )+\sin (2\theta -\theta )=2\sin 2\theta \cos \theta$$
$$\cos 3\theta +\cos \theta =\cos (2\theta +\theta )+\cos (2\theta -\theta )=2\cos 2\theta \cos \theta$$
となる。よって与えられた等式は
$$2\sin 2\theta \cos \theta +\sin 2\theta =2\cos 2\theta \cos \theta +\cos 2\theta$$
すなわち
$$\sin 2\theta (2\cos \theta +1)=\cos 2\theta (2\cos \theta +1)$$
$$(2\cos \theta +1)(\sin 2\theta -\cos 2\theta )=0$$
と同値である。

$\tan \theta$ が定義されることの確認

$\cos \theta =0$ と仮定すると、$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =0$、$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=-1$ である。このとき $2\cos \theta +1=1$、$\sin 2\theta -\cos 2\theta =1$ なので、左辺の積は $1\ne 0$ となり、等式を満たさない。よって解では常に $\cos \theta \ne 0$ であり、$\tan \theta$ は定義される。以下 $t=\tan \theta$ とおく。

(i) $2\cos \theta +1=0$ のとき

$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ より $\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。よって $t=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\mp \sqrt{3}$ となる。実際に $\theta =\frac{2\pi }{3}$ で $t=-\sqrt{3}$、$\theta =\frac{4\pi }{3}$ で $t=\sqrt{3}$ をとる。

(ii) $\sin 2\theta =\cos 2\theta$ のとき

$\cos \theta \ne 0$ なので、2 倍角の公式を $t$ で表すと
$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta =2t{\cos }^2\theta =\frac{2t}{1+t^2}$$
$$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =(1-t^2){\cos }^2\theta =\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
となる。条件は $2t=1-t^2$、すなわち
$$t^2+2t-1=0$$
であり、これを解くと $t=-1\pm \sqrt{2}$ となる。

実際に、$2\theta =\frac{\pi }{4}$ すなわち $\theta =\frac{\pi }{8}$ は $\sin 2\theta =\cos 2\theta$ を満たす。半角の公式から
$$\tan \frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1$$
である。また $\theta =\frac{5\pi }{8}$ も条件を満たし、$\tan \frac{5\pi }{8}=-\frac{1}{\tan \frac{\pi }{8}}=-(\sqrt{2}+1)$ となる。よって両方の値が実際にとられる。

結論

(i)、(ii) より、$\tan \theta$ のとりうる値は
$$-1+\sqrt{2},-1-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3}$$
である。

和積の公式より $\sin \theta +\sin 3\theta =2\sin 2\theta \cos \theta$、$\cos \theta +\cos 3\theta =2\cos 2\theta \cos \theta$ である。よって与式は $\sin 2\theta (2\cos \theta +1)=\cos 2\theta (2\cos \theta +1)$、すなわち $(2\cos \theta +1)(\sin 2\theta -\cos 2\theta )=0$ となる。

(i) $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ のとき、$\theta =\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$ ($k$ は整数)。$\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$、$\tan \frac{4\pi }{3}=\sqrt{3}$ なので $\tan \theta =\pm \sqrt{3}$。

(ii) $\sin 2\theta =\cos 2\theta$ のとき、$\cos 2\theta =0$ なら $\sin 2\theta =0$ となり矛盾するので $\tan 2\theta =1$。よって $2\theta =\frac{\pi }{4}+k\pi$、$\theta =\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$。$\tan \theta$ は周期 $\pi$ なので、$\theta =\frac{\pi }{8}$ と $\theta =\frac{5\pi }{8}$ を調べればよい。

$\tan 2\theta =\frac{2t}{1-t^2}=1$ より $t^2+2t-1=0$、$t=-1\pm \sqrt{2}$。これは $\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1$ と $\tan \frac{5\pi }{8}=-\sqrt{2}-1$ に対応する。

検算：$\theta =\frac{2\pi }{3}$ では $2\cos \theta +1=0$ なので両辺が等しい。$\theta =\frac{\pi }{8}$ では $\sin 2\theta =\cos 2\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので両辺が等しい。$\cos \theta =0$ の場合は $\theta =\frac{\pi }{2}$ で左辺 $0$、右辺 $-1$ となり解でない。

よって $\tan \theta =\sqrt{3},-\sqrt{3},\sqrt{2}-1,-\sqrt{2}-1$。