三角関数の問題

手順1：左辺を合成する。

$a\sin \theta +b\cos \theta$ で $a=1$, $b=\sqrt{3}$ である。

座標平面上に点 $\mathrm{P}(1,\sqrt{3})$ をとると、
$$r=\mathrm{OP}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$$
であり、動径 $\mathrm{OP}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角 $\alpha$ は
$$\cos \alpha =\frac{1}{2},\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$$
を満たすので $\alpha =\frac{\pi }{3}$ である。よって
$$\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\left(\sin \theta \cdot \frac{1}{2}+\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{3}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$$
（最後は正弦の加法定理）。

手順2：方程式を書き直す。
$$2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}\text{より}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

手順3：角の範囲を確認する。
$0\leqq \theta <2\pi$ より
$$\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7}{3}\pi$$

手順4：単位円で解く。
$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $t$ は $t=\frac{\pi }{4}+2n\pi ,\frac{3}{4}\pi +2n\pi$（$n$ は整数）である。このうち $\frac{\pi }{3}\leqq t<\frac{7}{3}\pi$ にあるものは
$$t=\frac{3}{4}\pi ,\frac{9}{4}\pi$$
（$\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{3}$ なので $\frac{\pi }{4}$ は範囲外。$\frac{9}{4}\pi =\frac{27}{12}\pi <\frac{28}{12}\pi =\frac{7}{3}\pi$ なので範囲内。）

よって
$$\theta =\frac{3}{4}\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5}{12}\pi ,\theta =\frac{9}{4}\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{23}{12}\pi$$

答え：$\theta =\frac{5}{12}\pi ,\frac{23}{12}\pi$

左辺を合成すると $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$ となる。よって方程式は $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ である。\n$0\leqq \theta <2\pi$ より $\frac{\pi }{3}\leqq \theta +\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{3}$ である。この範囲で $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $x$ は $x=\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4}$ である。$x=\frac{\pi }{4}$ は範囲外で、$\frac{9\pi }{4}<\frac{7\pi }{3}$ なので $\frac{9\pi }{4}$ は範囲内である。\nゆえに $\theta =\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{12}$、$\theta =\frac{9\pi }{4}-\frac{\pi }{3}=\frac{23\pi }{12}$ である。\n検算: $\theta =\frac{5\pi }{12}$ のとき $\sin 75^{\circ }+\sqrt{3}\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$。$\theta =\frac{23\pi }{12}$ のとき $\sin 345^{\circ }=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\cos 345^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ なので和は $\sqrt{2}$ となり、どちらも条件を満たす。