三角関数の問題

定義域　$0<x<\frac{\pi }{2}$ で $\tan 2x$ が定義されるのは $2x\ne \frac{\pi }{2}$、すなわち $x\ne \frac{\pi }{4}$ のとき、$\tan 3x$ が定義されるのは $3x\ne \frac{\pi }{2},\frac{3}{2}\pi$、すなわち $x\ne \frac{\pi }{6}$ のときである。以下 $x\ne \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}$ とする。

加法定理で変形　$s=\tan x+\tan 2x,p=\tan x\tan 2x$ とおく。$3x=x+2x$ であり、$\tan 3x$ が定義されるので $\cos 3x\ne 0$、したがって $p\ne 1$ である（$p=1$ なら $\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=0$、すなわち $\cos 3x=0$ となる）。加法定理より
$$\tan 3x=\tan (x+2x)=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x}=\frac{s}{1-p}$$
よって与えられた等式は
$$s+\frac{s}{1-p}=0⟺\frac{s(2-p)}{1-p}=0⟺s=0\text{または}p=2$$
となる。$t=\tan x$ とおくと $0<x<\frac{\pi }{2}$ より $t>0$ で、2 倍角の公式より $\tan 2x=\frac{2t}{1-t^2}$ である（$x\ne \frac{\pi }{4}$ より $t\ne 1$）。

また、$\cos 2x$ は $t$ で次のように表せる。
$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$
（分母分子を ${\cos }^{2}x$ で割った。）

(i) $s=0$ のとき　$t+\frac{2t}{1-t^2}=0$ で、$t>0$ より両辺を $t$ で割って
$$1+\frac{2}{1-t^2}=0⟺1-t^2=-2⟺t^2=3$$
$t>0$ より $t=\sqrt{3}$、すなわち $x=\frac{\pi }{3}$ である。これは $x\ne \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}$ を満たす（実際 $\tan \frac{\pi }{3}+\tan \frac{2}{3}\pi +\tan \pi =\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$）。このとき
$$\cos 2x=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}$$

(ii) $p=2$ のとき　$t\cdot \frac{2t}{1-t^2}=2$ より
$$2t^2=2(1-t^2)⟺t^2=\frac{1}{2}$$
$t>0$ より $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で、これは $t\ne \frac{1}{\sqrt{3}},1$（すなわち $x\ne \frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}$）を満たし、$0<x<\frac{\pi }{2}$ にこのような $x$ がただ 1 つ存在する。また $p=2\ne 1$ なので $\tan 3x$ も定義される。このとき
$$\cos 2x=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$

以上より、$\cos 2x$ のとりうる値は
$$-\frac{1}{2},\frac{1}{3}$$

$a=\tan x$, $b=\tan 2x$ とおく。$\tan 3x$ が定義されるので $1-ab\ne 0$ であり、加法定理より $\tan 3x=\tan (x+2x)=\frac{a+b}{1-ab}$。

与式は $(a+b)+\frac{a+b}{1-ab}=0$、すなわち
$$(a+b)\cdot \frac{(1-ab)+1}{1-ab}=\frac{(a+b)(2-ab)}{1-ab}=0$$
よって $a+b=0$ または $ab=2$。

(i) $a+b=0$ のとき: $\tan x=-\tan 2x=\tan (-2x)$ より $x=-2x+k\pi$（$k$ は整数）、$x=\frac{k\pi }{3}$。$0<x<\frac{\pi }{2}$ より $x=\frac{\pi }{3}$。このとき $\tan 2x=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$, $\tan 3x=\tan \pi =0$ はともに定義され、$\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$ を満たす。$\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。

(ii) $ab=2$ のとき: $\tan 2x=\frac{2a}{1-a^2}$ より $a\cdot \frac{2a}{1-a^2}=2$、$a^2=1-a^2$、$a^2=\frac{1}{2}$。$\tan 2x$ が定義される（$a^2\ne 1$）ことも確かめられ、$1-ab=-1\ne 0$ で $\tan 3x$ も定義される。$0<x<\frac{\pi }{2}$ より $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で、このような $x$ が存在する。
$\cos 2x=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$。

検算: $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $b=\frac{2a}{1-a^2}=2\sqrt{2}$, $\tan 3x=\frac{a+b}{1-ab}=\frac{5/\sqrt{2}}{-1}=-\frac{5}{\sqrt{2}}$。和は $\frac{1}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}-\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{1+4-5}{\sqrt{2}}=0$ ✓。

よって $\cos 2x$ のとりうる値は $-\frac{1}{2},\frac{1}{3}$。