三角関数の問題

$y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin 2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ のグラフは、$y=2\sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{\pi }{6}$ だけ平行移動したもので、周期は $\pi$ である。

正弦曲線は、山の頂点（最大となる点）や谷の底（最小となる点）を通り $y$ 軸に平行な直線に関して対称であり、それ以外の直線に関しては対称にならない。

最大または最小となるのは $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\pm 1$ のとき、すなわち
$$2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+n\pi (n\text{ は整数})$$
のときである。これを解くと
$$x=\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{2}$$

実際、$a=\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{2}$ のとき、任意の実数 $t$ について
$$2\sin \left(2(a+t)+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}+n\pi +2t\right)=2(-1{)}^n\cos 2t$$
であり、これは $t$ を $-t$ に変えても変わらないので、グラフは直線 $x=a$ に関して対称である。

このうち正で最小のものは $n=0$ のときで、$a=\frac{\pi }{12}$ である（$n=-1$ のとき $a=\frac{\pi }{12}-\frac{\pi }{2}<0$）。

よって求める値は $\frac{\pi }{12}$ である。

正弦曲線 $y=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ の対称軸は、$y$ が最大または最小となる $x$ を通る直線である。$2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+n\pi$ ($n$ は整数) より $x=\frac{\pi }{12}+\frac{n\pi }{2}$。正で最小のものは $n=0$ のとき $a=\frac{\pi }{12}$。検算: $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ とすると $f\left(\frac{\pi }{12}+h\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{2}+2h\right)=2\cos 2h$ で $h$ の偶関数なので $x=\frac{\pi }{12}$ に関して対称。$n=-1$ では負になる。