三角関数の問題

$N=2n+1$ とおき、$x_k=\frac{k\pi }{N}$ $(k=1,\dots ,n)$ とする。$0<x_k<\frac{\pi }{2}$ なので $\sin x_k>0$ である。

因数の言い換え

加法定理と 2 倍角の公式から得られる 3 倍角の公式 $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ より、$\sin x\ne 0$ のとき
$$3-4{\sin }^{2}x=\frac{\sin 3x}{\sin x}$$
よって
$$P_n=\frac{\prod _{k=1}^n\sin \frac{3k\pi }{N}}{\prod _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{N}}$$

$N$ が $3$ の倍数のとき

$N=3l$ とすると、$l=\frac{N}{3}\leqq \frac{2n+1}{3}\leqq n$ だから $k=l$ が積に含まれ、$\sin \frac{3l\pi }{N}=\sin \pi =0$。よって $P_n=0$ である。

$N$ が $3$ の倍数でないとき：絶対値

各 $k$ に対し、$3k$ を $N$ で割った余りを $s_k$ とし、$r_k=\min (s_k,N-s_k)$ とおく。$N$ は $3$ の倍数でないので $s_k\ne 0$、また $N$ は奇数なので $1\leqq r_k\leqq n$ である。$\sin$ の周期性と $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ より
$$\left|\sin \frac{3k\pi }{N}\right|=\sin \frac{r_k\pi }{N}$$
ここで $k\ne l$ なら $r_k\ne r_l$ である。実際 $r_k=r_l$ なら $3k\equiv \pm 3l(\mathrm{mod}N)$ で、$3$ と $N$ は互いに素だから $k\equiv \pm l(\mathrm{mod}N)$。ところが $1\leqq |k-l|<N$, $2\leqq k+l\leqq 2n<N$ なのでどちらも起こらない。したがって $r_1,\dots ,r_n$ は $1,\dots ,n$ を並べかえたもので
$$\prod _{k=1}^n\left|\sin \frac{3k\pi }{N}\right|=\prod _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{N}$$
よって $|P_n|=1$ である。

符号

$0<\frac{3k\pi }{N}\leqq \frac{3n\pi }{2n+1}<\frac{3}{2}\pi$ なので、$\sin \frac{3k\pi }{N}<0$ となるのは $\frac{3k\pi }{N}>\pi$、すなわち $3k>N$ のときである。その個数は
$$c=n-\lfloor \frac{N}{3}\rfloor$$
で、$P_n=(-1{)}^c$ となる。
- $N=6m+1$ $(n=3m)$ のとき：$\lfloor \frac{N}{3}\rfloor =2m$ より $c=m$
- $N=6m+5$ $(n=3m+2)$ のとき：$\lfloor \frac{N}{3}\rfloor =2m+1$ より $c=m+1$

（$N$ は奇数なので、$3$ の倍数でなければ $6$ で割った余りは $1$ か $5$ である。）

数える

$P_n=-1$ となるのは $c$ が奇数のときである。
- $n=3m$ で $m$ が奇数：$1\leqq 3m\leqq 100$ より $m=1,3,\dots ,33$ の $17$ 個
- $n=3m+2$ で $m$ が偶数：$0\leqq m\leqq 32$ より $m=0,2,\dots ,32$ の $17$ 個

（$n=3m+1$ のときは $N=6m+3$ が $3$ の倍数で $P_n=0$。）

例として $n=2$ のとき $P_2=\left(3-4{\sin }^2\frac{\pi }{5}\right)\left(3-4{\sin }^2\frac{2\pi }{5}\right)=\frac{\sin \frac{3\pi }{5}\sin \frac{6\pi }{5}}{\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5}}=-1$ となり、上の結果と合う。

よって求める個数は $17+17=34$ である。

$N=2n+1$ とおく。3 倍角の公式 $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ より、$\sin x\ne 0$ のとき $3-4{\sin }^{2}x=\frac{\sin 3x}{\sin x}$。よって $P_n={\prod }_{k=1}^n\frac{\sin (3k\pi /N)}{\sin (k\pi /N)}$。\n(i) $3\mid N$ のとき: $k=\frac{N}{3}$ は $1\le k\le n$ を満たし、その項は $\sin \pi =0$ なので $P_n=0\ne -1$。\n(ii) $3\nmid N$ のとき: $1\le k\le n$ に対し $\sin \frac{3k\pi }{N}=\pm \sin \frac{j\pi }{N}$（$j$ は $3k$ を $N$ で割った余りを $r$ として $j=r$ または $N-r$ のうち $1\le j\le n$ のほう）と書ける。$k\mapsto j$ は $\{1,\dots ,n\}$ の置換である（$3k\equiv \pm 3k^{\prime }(\mathrm{mod}N)$ なら 3 と $N$ が互いに素なので $k\equiv \pm k^{\prime }$、$1\le k,k^{\prime }\le n$ で $k=k^{\prime }$）。したがって $|P_n|=1$ で、$P_n$ の符号は $\sin \frac{3k\pi }{N}<0$ となる $k$ の個数の偶奇で決まる（$\sin \frac{k\pi }{N}>0$）。\n$0<\frac{3k\pi }{N}<\frac{3\pi }{2}$ なので、$\sin \frac{3k\pi }{N}<0⟺\frac{3k\pi }{N}>\pi ⟺k>\frac{N}{3}$。$1\le k\le n$ でこれを満たす $k$ は $\lfloor \frac{N}{3}\rfloor +1,\dots ,n$ の $c=n-\lfloor \frac{2n+1}{3}\rfloor$ 個。$P_n=-1⟺c$ が奇数。\n・$n=3m+1$: $N=6m+3$ で 3 の倍数、除外。\n・$n=3m$: $N=6m+1$、$c=3m-2m=m$。$m$ が奇数。$1\le 3m\le 100$ より $m=1,\dots ,33$ のうち奇数は 17 個。\n・$n=3m+2$: $N=6m+5$、$c=3m+2-(2m+1)=m+1$。$m$ が偶数。$3m+2\le 100$ より $m=0,\dots ,32$ のうち偶数は 17 個。\n合計 $17+17=34$。\n検算: $n=2$ のとき $P_2=\frac{\sin (3\pi /5)}{\sin (\pi /5)}\cdot \frac{\sin (6\pi /5)}{\sin (2\pi /5)}=\frac{\sin (2\pi /5)}{\sin (\pi /5)}\cdot \frac{-\sin (\pi /5)}{\sin (2\pi /5)}=-1$ で、$m=0$ の場合と一致。$n=3$（$m=1$, $N=7$）: $c=1$ で $P_3=-1$、$n=6$（$m=2$）: $c=2$ で $P_6=+1$。