2 次式に帰着する三角方程式・不等式

2 倍角の公式や $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ を使って、式を $cos x$ （または $sin x$ ）だけの 2 次式に直せる。 $t = cos x$ （ $- 1 ≦ t ≦ 1$ ）とおいて 2 次方程式・2 次不等式を解き、 $cos 2 x ≦ 3 cos x + 1$ のような方程式・不等式を $0 ≦ x < 2 π$ で解ける

前提

加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の基本的な方程式・不等式（数学II 三角関数）

説明

$cos 2 x$ や $sin^{2} x$ が混ざった三角方程式・不等式を、 $cos x$ だけ（または $sin x$ だけ）の 2 次式に直して解けるようになります。 $t = cos x$ のように置きかえると、ふつうの 2 次方程式・2 次不等式になります。そのあとは、前提の技能である基本的な三角方程式・不等式に戻して $x$ を求めます。 $cos 2 x ≦ 3 cos x + 1$ や $2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0$ のような問題で使います。

なぜそうしてよいのか

$cos 2 x$ は加法定理から $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ です。ここに $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ を使うと、 $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ とも $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ とも書けます。同じように $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ 、 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ と書きかえられます。そのため、式の中の三角関数をすべて $cos x$ の式（または $sin x$ の式）にそろえられることがよくあります。 $cos x$ にそろえるか $sin x$ にそろえるかは、式に残っている 1 次の項で決めます。 $cos x$ の項があれば $cos x$ に、 $sin x$ の項があれば $sin x$ にそろえます。

1 種類にそろったら、 $t = cos x$ とおきます。すると式は $a t^{2} + b t + c$ の形の、 $t$ についての 2 次式になり、中学や数学Iの方法（因数分解・解の公式・2 次不等式）で $t$ の条件が求まります。ただし、 $t = cos x$ は単位円上の点の $x$ 座標なので、 $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲の値しかとりません。2 次式を解いて出た $t$ の条件のうち、この範囲に入る部分だけが実際に起こりえます。

最後に、得られた $t$ の条件（たとえば $\frac{1}{2} ≦ cos x ≦ 1$ ）は、前提の技能で扱った基本的な三角方程式・不等式そのものです。そこで、単位円を使って $0 ≦ x < 2 π$ の範囲で $x$ を求めれば完成です。つまり「2 次式を解く」と「基本の三角方程式・不等式を解く」の 2 段階に分けて解いているわけです。

手順

1 次の項を見て、 $cos x$ と $sin x$ のどちらにそろえるかを決める。
公式で 1 種類にそろえる。 $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ または $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ 、 $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ などを使う。
$t = cos x$ （または $t = sin x$ ）とおき、範囲 $- 1 ≦ t ≦ 1$ を必ず書く。
$t$ の 2 次方程式・2 次不等式を因数分解や解の公式で解き、 $- 1 ≦ t ≦ 1$ と合わせて $t$ の条件を決める。
$t$ を $cos x$ （または $sin x$ ）に戻し、単位円で $0 ≦ x < 2 π$ の範囲の $x$ を求める。

例題

$0 ≦ x < 2 π$ のとき、不等式 $cos 2 x - 3 cos x + 2 ≦ 0$ を解け。

例題の解答

【手順1】1 次の項は $- 3 cos x$ なので、 $cos x$ にそろえる。
【手順2】 $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ を代入すると、 $2 cos^{2} x - 1 - 3 cos x + 2 ≦ 0$ 、すなわち $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 ≦ 0$ 。
【手順3】 $t = cos x$ とおく。 $0 ≦ x < 2 π$ より $- 1 ≦ t ≦ 1$ 。不等式は $2 t^{2} - 3 t + 1 ≦ 0$ となる。
【手順4】左辺を因数分解して $(2 t - 1) (t - 1) ≦ 0$ 。よって $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ 。これは $- 1 ≦ t ≦ 1$ にすべて含まれるので、 $\frac{1}{2} ≦ cos x ≦ 1$ 。
【手順5】単位円で $x$ 座標が $\frac{1}{2}$ 以上になる点を考える。 $cos x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$ である。 $cos x ≦ 1$ は常に成り立つ。したがって $0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ 、 $\frac{5 π}{3} ≦ x < 2 π$ 。

答え: $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{5 π}{3}, 2 π)$

よくある誤り

$t = cos x$ の範囲 $- 1 ≦ t ≦ 1$ を忘れる誤り。たとえば $2 cos^{2} x + cos x - 1 ≧ 0$ では $(2 t - 1) (t + 1) ≧ 0$ から $t ≦ - 1$ または $t ≧ \frac{1}{2}$ が出る。 $t < - 1$ は起こらないので、正しくは $t = - 1$ または $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ となる。 $t = - 1$ から出る $x = π$ を落とさないこと。
式に合わない $cos 2 x$ の形を選んでしまう誤り。 $cos 2 x + sin x = 0$ に $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ を使うと、 $cos x$ と $sin x$ が混ざったまま残る。正しくは $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ を使い、 $- 2 sin^{2} x + sin x + 1 = 0$ と $sin x$ だけの式にする。
共通な因数で両辺を割って解を失う誤り。 $sin 2 x = sin x$ を $2 sin x cos x = sin x$ とし、 $sin x$ で割って $cos x = \frac{1}{2}$ だけにしてしまう。 $sin x = 0$ のときは割れない。正しくは $sin x (2 cos x - 1) = 0$ と因数分解して $sin x = 0$ も考え、 $x = 0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$ とする。
範囲の端を誤る誤り。 $0 ≦ x < 2 π$ なので $x = 2 π$ は含まれない。上の例題で $\frac{5 π}{3} ≦ x ≦ 2 π$ と書くのは誤りで、正しくは $\frac{5 π}{3} ≦ x < 2 π$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

2 次式に帰着する三角方程式・不等式

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