三角関数の問題

手順 1：$\sin x$ だけの式に直す

式には $\sin x$ があるので、2 倍角の公式のうち $\sin x$ で表す形
$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$$
を使います。方程式に代入すると
$$1-2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$$
$$-2{\sin }^{2}x-3\sin x+2=0$$
両辺に $-1$ を掛けて
$$2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$$

手順 2：$t=\sin x$ とおき、$t$ の範囲を確認する

$t=\sin x$ とおきます。$0\leqq x<2\pi$ より $-1\leqq t\leqq 1$ です。方程式は
$$2t^2+3t-2=0$$
となります。

手順 3：2 次方程式を解く

左辺を因数分解すると
$$(2t-1)(t+2)=0$$
よって $t=\frac{1}{2}$ または $t=-2$ です。

$-1\leqq t\leqq 1$ なので、$t=-2$ は適しません。したがって $t=\frac{1}{2}$、つまり
$$\sin x=\frac{1}{2}$$

手順 4：$x$ を求める

単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ となる点を考えると、$0\leqq x<2\pi$ の範囲では
$$x=\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$$

確かめ

$x=\frac{\pi }{6}$ のとき、$\cos \frac{\pi }{3}-3\cdot \frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0$ となり成り立ちます。

$x=\frac{5}{6}\pi$ のとき、$\cos \frac{5}{3}\pi =\frac{1}{2}$、$\sin \frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}$ なので、同じく $0$ となり成り立ちます。

答え：$x=\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi$

$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ なので、方程式は $1-2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$ となる。整理すると $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$、すなわち $(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$。$\sin x\ge -1$ より $\sin x+2>0$ なので $\sin x=\frac{1}{2}$。$0\leqq x<2\pi$ の範囲では $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$。検算: $x=\frac{\pi }{6}$ のとき $\cos \frac{\pi }{3}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+1=0$。$x=\frac{5\pi }{6}$ のとき $\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}$、$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$ なので同様に $0$。