三角関数の問題

2倍角の公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ を用いると、不等式は
$$2{\cos }^{2}x-1\leqq 3\cos x+1$$
となる。整理すると
$$2{\cos }^{2}x-3\cos x-2\leqq 0$$
である。$t=\cos x$ とおく。$0\leqq x<2\pi$ より $-1\leqq t\leqq 1$ である。このとき不等式は
$$2t^2-3t-2\leqq 0$$
となる。左辺を因数分解すると
$$(2t+1)(t-2)\leqq 0$$
であるから、$-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 2$ を得る。

$-1\leqq t\leqq 1$ と合わせると $-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1$、すなわち
$$\cos x\geqq -\frac{1}{2}$$
となる。

$0\leqq x<2\pi$ の範囲で $\cos x=-\frac{1}{2}$ となるのは $x=\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi$ である。単位円で考えると、$\cos x\geqq -\frac{1}{2}$ となる $x$ の範囲は
$$0\leqq x\leqq \frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi \leqq x<2\pi$$
である。

(確認) $x=\pi$ のとき、左辺は $\cos 2\pi =1$、右辺は $3\cdot (-1)+1=-2$ となり、不等式は成り立たない。$x=0$ のとき、左辺は $1$、右辺は $4$ となり、不等式は成り立つ。これらは上の結果と一致する。

$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ なので、$t=\cos x$ とおくと不等式は $2t^2-1\leqq 3t+1$、すなわち $2t^2-3t-2\leqq 0$ となる。左辺を因数分解すると $(2t+1)(t-2)\leqq 0$ なので $-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 2$ である。$\cos x\leqq 1$ より、条件は $\cos x\geqq -\frac{1}{2}$ に帰着する。$0\leqq x<2\pi$ でこれを満たすのは $0\leqq x\leqq \frac{2\pi }{3}$ または $\frac{4\pi }{3}\leqq x<2\pi$ である。
検算：$x=\frac{2\pi }{3}$ では左辺 $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$、右辺 $3\cdot (-\frac{1}{2})+1=-\frac{1}{2}$ で等号が成り立つ。$x=\pi$ では左辺 $1$、右辺 $-2$ で不等式は成り立たず、除外されることと合う。$x=0$ では左辺 $1$、右辺 $4$ で成り立つ。